Definizione:  

Si dice che “il limite, per x che tende a x₀ , di f(x) è uguale a  ” se e solo se

per ogni intorno di , esiste un intorno di x₀ tale che,

per ogni x appartenente a questo intorno di x₀  (escluso tutt’al più  x₀)_,

f(x) appartenga all’intorno di  fissato inizialmente.

Oppure:  

Si dice che “il limite, per x che tende a x₀ , di f(x) è uguale a  ” se e solo se

per ogni   [arbitrariamente grande] esiste un  tale che,

per ogni x appartenente all’ intervallo  (escluso tutt’al più  x₀)_,

f(x) appartenga all’intervallo  

Oppure:  

Si dice che “il limite, per x che tende a x₀ , di f(x) è uguale a  ” se e solo se

per ogni  [comunque grande lo si scelga] esiste un  tale che,

se x è compreso fra  e  (escluso tutt’al più  x₀)_,  f(x) risulti maggiore di  

Oppure:  

Si dice che “il limite, per x che tende a x₀ , di f(x) è uguale a  ” se e solo se:

per ogni M>0 [grande a piacere] esiste un  tale che,

se la distanza di x da x₀ è minore di x₀ (e x è diverso da  x₀: il comportamento della funzione IN x₀ non ci interessa )_,

f(x) risulti maggiore di M.