10)      I “due carabinieri” (=primo teorema del confronto)

 

Primo teorema del confronto (detto anche: "teorema dei due carabinieri"):   SE, in tutto un intorno di c, escluso tutt'al più c, si ha   e inoltre è ,             ALLORA sarà pure

 

Dimostrazione

(Supponiamo che c sia un’ascissa finita; lasciamo al lettore il compito, piuttosto banale, di apportare alla dimostrazione le modifiche necessarie, nel caso in cui c sia infinito).

Dunque

, l’ipotesi è che

a)       esista un intorno  tale che per ogni x di , escluso tutt’al più x=c,  si abbia  

b)       e inoltre risulti  

La tesi è che .

• La condizione a) ci porta a figurarci le due funzioni
  
   e
  
   come due “carabinieri” che ”stringono in mezzo” un “ladro”, ossia la funzione
  
  ,
• … e la condizione b) ci dice che i due “carabinieri” sono diretti entrambi in “caserma” (il limite
  
   ).

E’ allora evidente che pure il “ladro” h(x), essendo stretto in mezzo fra i due carabinieri, dovrà necessariamente confluire in caserma (=tendere al limite  ).

La dimostrazione consisterà nel tradurre in opportune relazioni matematiche questa buffa idea.

 

Fissiamo pertanto ad arbitrio un .

per l’ipotesi  , esisterà un   tale che, , si abbia  

per l’ipotesi  , esisterà un   tale che, , si abbia  

Se ora poniamo  e consideriamo l’intorno di centro c e raggio ,

su tutto  saranno verificate entrambe le disuguaglianze

;     

e quindi su tutto  si avrà

,   da cui, in particolare, , C.V.D.

 

11)    Il secondo teorema del confronto

 

Secondo teorema del confronto:                         SE, in tutto un intorno di c, escluso tutt'al più c, si ha  e inoltre è ,             ALLORA sarà pure

 

12)     Il terzo teorema del confronto

 

Terzo teorema del confronto:             SE, in tutto un intorno di c, escluso tutt'al più c, si ha  (rispettivamente:  )             e inoltre è   (rispettivamente:  )             ALLORA si avrà pure    (rispettivamente:  )