13)     Il limite di una somma      

 

Il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei limiti             (supposto che entrambi esistano e siano finiti):

 

Dimostrazione

Supponiamo c finito, lasciando al lettore le modifiche da apportare alla dimostrazione nel caso c sia infinito.

Dobbiamo far vedere che

 

Fissiamo dunque arbitrariamente un  e passiamo a considerare il numero .

In corrispondenza di  (che farà da “nuovo  ”),

• per l’ipotesi
  
   esisterà un
  
   tale che
  
  , si abbia
  
  .
• e per l’ipotesi
  
  , esisterà un
  
    tale che,
  
  , si abbia  
  

Detto dunque , su tutto  risulteranno verificate contemporaneamente

entrambe le condizioni

 

 

e pertanto in tale insieme  sarà verificata anche la condizione che si ottiene sommandole membro a membro:

 

ossia  ,  C.V.D.

 

Ti invito ad esaminare con attenzione la seguente DIMOSTRAZIONE CON UNO “STILE” ALTERNATIVO: Fissiamo un . Per l’ipotesi  esisterà un  tale che , si abbia . e per l’ipotesi , esisterà un   tale che, , si abbia     In  si avrà allora                SE ORA SI TIENE CONTO DELL’ARBITRARIETA’ DI , LA DIMOSTRAZIONE E’ TERMINATA. Bello!

 

OSSERVAZIONE:

Non sempre, se esiste il limite della somma di due funzioni,

ciascuna delle due funzioni prese separatamente tende a limite.

 

Infatti, ad esempio,  

ma i due limiti ,  non esistono.

 

14)   Il limite della differenza di due funzioni è uguale alla differenza dei limiti

(supposto che entrambi esistano e siano finiti).

Dimostrazione: conseguenza di

ü       1):      

ü       13): Il limite della somma di due funzioni…ecc.

 

15)   Il limite della somma di più funzioni è uguale alla somma dei limiti

(supposto che tutti questi limiti esistano e siano finiti).

Dimostrazione: basta applicare più volte il teorema 13)

 

16)    Il limite del prodotto di una costante per una funzione

          è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione (supposto che questo esista e sia finito):

 

 

17)    Il limite del prodotto di due funzioni

   è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni (supposto che entrambi esistano e siano finiti):

 

Dimostrazione:   io non te la do (TIE’ ! ) ma tu valla a cercare sul tuo testo e su di un altro testo almeno

                              … a seconda degli Autori, può essere proposta in modi diversi e il confronto è istruttivo.

OSSERVAZIONE:

Non sempre, se esiste il limite del prodotto di due funzioni, ciascuna delle due funzioni prese separatamente tende a limite.

Infatti, ad es.,  (come si dimostra utilizzando il primo oppure il secondo dei teoremi del confronto)

ma     non esiste.

18)    Il limite del reciproco di una funzione

           è uguale al reciproco del limite (supposto che questo sia finito e  ):

 

19)     Il limite del quoziente di due funzioni

è uguale al quoziente dei limiti (supposto che entrambi i limiti esistano e siano finiti e inoltre che il limite della funzione a denominatore sia diverso da zero):