LIMITI, PARTE B: TEOREMI SUI LIMITI

In questa rassegna di teoremi, la lettera c starà ad indicare uno qualsiasi dei tre simboli:  

 

Obiettivi; osservazioni preliminari

 

 

·         La teoria dei limiti prevede una bella mole di teoremi; qui di seguito verranno enunciati i più rilevanti.

Di alcuni verrà data la dimostrazione, ma non di tutti. Quanto faremo, d’altronde, sarà ampiamente sufficiente a permetterti di comprendere quali sono gli “stili” dimostrativi principali, e di acquisire metodi efficaci di esposizione del ragionamento dimostrativo. In tal modo, potrai poi cercare tu stesso di formulare delle dimostrazioni (anche se, onestamente, questo obiettivo presenta in genere un grado di difficoltà medio-alto), e comunque di approfondire ciò che desideri, su qualsiasi libro di testo.

 

  • Osserverai come la verità di pressoché tutti gli enunciati può essere colta con l’ intuizione aritmetica e/o geometrica, e scoprirai che sarà facile ricostruire il contenuto di questi teoremi integrando l’intuizione col ragionamento, senza che la memoria richieda di essere scomodata più di tanto.

 

·         Questo percorso ci servirà anche a fissare alcune proposizioni-“cardine” che entreranno, in seguito, nella dimostrazione di altri teoremi più avanzati e molto importanti. Ad esse, assegneremo nomi particolari (Teorema della Permanenza del Segno, Teorema dei  Due Carabinieri, Teorema di Esistenza del Limite delle Funzioni Monotòne …)

 

                       

1)   Limite della funzione opposta

 

Se una funzione  ammette il limite finito , allora la funzione  ammette il limite :

 

 

Dimostrazione

Supponiamo, per fissare le idee, c finito; lasciamo al lettore le facili modifiche da apportare alla dimostrazione nel caso  oppure .

La nostra tesi è che , sotto l’ipotesi che .

Dobbiamo perciò far vedere che

 

Fissiamo dunque ad arbitrio un
.

In corrispondenza di questo  esisterà, per ipotesi, un  tale che,

se ,  risulti  .

Ma da quest’ultima catena di disuguaglianze si trae, cambiando i segni e i versi,

 

ossia, leggendo da destra verso sinistra,

 

C.V.D.

 

2) 

 

 

3)

Se k è una costante reale, e si ha  

allora risulta  

 

4)        “ Il limite del valore assoluto è uguale al valore assoluto del limite ”

 

a)             

 

b)              

                                                                   

5)  Unicità del limite

 

 

Teorema di unicità del limite:

Se, per  , la funzione  ammette un limite, questo è unico.

 

 

Dimostrazione

Dimostreremo il teorema supponendo ; analoga sarebbe la dimostrazione nel caso  

o .

Per assurdo:

supponiamo che sia, contemporaneamente,

   e    , con   

(supponiamo anche ,  finiti; il ragionamento per assurdo che stiamo effettuando si potrebbe facilissimamente adattare alle altre possibili eventualità).

Fissiamo un  sufficientemente piccolo affinché i due intorni  e  siano disgiunti (= siano privi di intersezione, non abbiano punti comuni).

… facile! Basterà che scegliamo  e avremo raggiunto lo scopo.

Ora, in corrispondenza di questo ,

Adesso poniamo  e consideriamo , che poi può essere visto come .

Per ogni x di questo , fatta eccezione al più per x=c, si avrà contemporaneamente

    e      ;

ma ciò è palesemente assurdo, perché le due condizioni sono incompatibili in quanto i due intervalli

 e  avrebbero in tal modo dei punti comuni, mentre li abbiamo supposti disgiunti.

6)   Permanenza del segno

 

 

Teorema della permanenza del segno:

 

Se, per  , la funzione  ammette un limite  diverso da zero ( , oppure  o  ),

allora esiste un intorno di c per tutti gli x del quale, escluso tutt'al più c nel caso c sia finito,

 mantiene lo stesso segno del limite.