Teoremi sintetizzati da “pseudo-uguaglianze”; forme di indecisione.

 

Nella precedente rassegna di teoremi ci siamo occupati prevalentemente (anche se non esclusivamente) di casi in cui i limiti delle funzioni considerate erano finiti.

Ora andiamo a studiare espressamente le situazioni in cui almeno uno dei limiti in gioco è infinito.

 

          Valgono i teoremi sotto riportati, di cui, per brevità ed efficacia espositiva, diamo gli enunciati 

          preferibilmente in forma sintetica, attraverso una “pseudo-uguaglianza”.

 

ü       Ad esempio, scrivendo ,

vogliamo riassumere l’enunciato:  

 

ü       e scrivendo, ad esempio, che  è una “FORMA DI INDECISIONE”,

intendiamo affermare che, qualora si abbia ,  ,

NULLA SI PUO’ DIRE A PRIORI riguardo al  

(tale limite potrà esistere finito o inf., o anche non esistere, a seconda delle specifiche funzioni f e g)

 

Basteranno, a titolo di esempi, le dimostrazioni di un paio di questi enunciati (le trovi alle pagine successive).
20)		21)				22)		23)
FORMA DI INDECISIONE
24)   con l’ordinaria “regola dei segni”					25)   con l’ordinaria “regola dei segni”
FORMA DI INDECISIONE
26)	27)		28)	29)			30)	31)	32)
FORMA DI INDECISIONE					FORMA DI INDECISIONE
33)
34)    35)

 

q       Dimostrazione del teorema sintetizzato nella pseudo-uguaglianza   (  

Per semplicità supponiamo  e supponiamo inoltre che l’ “  ” in questione sia, più precisamente, .

(abbastanza ovvie sono le modifiche che occorrerebbe apportare alla dimostrazione per adattarla agli altri casi).

Dunque: la nostra ipotesi è che

 e che  

e la nostra tesi è che  

Sia .

Vogliamo far vedere che in corrispondenza di questo M, fissato arbitrariamente, esiste sempre un intorno di c per ogni x del quale (eccettuato al più x=c, se c è finito), valga la disuguaglianza  

A tale scopo, ci serve considerare:

a)       in relazione all’ipotesi , il numero .

In corrispondenza di tale numero positivo  esisterà un intorno di c nell’ambito del quale (tolto, al più, c)  (ma ci interessa in particolare  )

b)       in relazione all’ipotesi , il numero . In corrispondenza di tale  

esisterà un intorno di c nell’ambito del quale (tolto, al più, c) sarà  

 

Da tutto ciò si trae che nell’intorno di c che rappresenta l’intersez. dei due intorni precedentemente considerati (fatta eccezione, al più, per il punto x=c), si avrà

 

da cui, moltiplicando membro a membro:

 

Così, dopo aver fissato ad arbitrio quell’  iniziale, siamo riusciti a determinare un intorno di c tale che ... ecc. ecc.

La tesi è dimostrata.

 

q       Dimostrazione del teorema sintetizzato nella pseudo-uguaglianza  

La situazione rappresentata nel teorema è quella di un rapporto di due funzioni   

quando si abbia   e   

Si vuole dimostrare che, sotto tale ipotesi, è   

Prima parte) 

Dimostriamo dapprima la tesi in un caso particolare, ossia qualora la funzione f(x) a numeratore sia addirittura la COSTANTE y =1. Ricapitolando, avremo

 

Ipotesi: