Teorema di esistenza del limite delle funzioni monotòne:

Sia f una funzione monotòna crescente,

in senso stretto o in senso lato,

su tutto un intervallo (a, b).

Allora esistono certamente i

e tali limiti sono uguali rispettivamente

all’estremo inferiore (finito o infinito che sia)

e all’estremo superiore (finito o infinito che sia)

dell’insieme dei valori assunti dalla f(x)

nell’intervallo (a, b); brevemente:

(Proposizione gemella):

Sia f una funzione monotòna decrescente,

in senso stretto o in senso lato,

su tutto un intervallo (a, b).

Allora esistono certamente i

e tali limiti sono uguali rispettivamente

all’estremo superiore (finito o infinito che sia)

e all’estremo inferiore (finito o infinito che sia)

dell’insieme dei valori assunti dalla f(x)

nell’intervallo (a, b); brevemente:

Osservazioni

·         Si può dimostrare che il teorema vale anche per intervalli illimitati verso sinistra o/e verso destra.

·         Vale anche un enunciato analogo per le successioni

(“Teorema di esistenza del limite delle successioni monotòne”)

Limitiamoci a dimostrare che se f è monotòna crescente su (a,b), allora

(le altre proposizioni avranno dimostrazioni perfettamente analoghe)

Interpretiamo “crescente” come “crescente in senso lato”; in questo modo, data la maggiore generalità della condizione,

la validità della dimostrazione si estenderà automaticamente anche alle funzioni strettamente crescenti.

Supponiamo inoltre che  sia finito (ne indicheremo il valore con S);

nel caso fosse infinito, la dimostrazione subirebbe qualche modifica del tutto prevedibile, che lasciamo al lettore.

Dunque:

·         la nostra ipotesi è: f monotona crescente su (a, b)

·         la nostra tesi è:  

·         supponiamo inoltre che S sia finito.

Dobbiamo quindi dimostrare che, fissato ad arbitrio un  esiste un   tale che,

se , allora .

Fissiamo dunque .

Poiché S è l’estremo superiore dell’insieme H = f ((a,b)) dei valori che la f(x) assume su (a, b),

nell’intervallo  esisterà certamente un elemento di H, ossia:

esisterà certamente su (a, b) un x₁ tale che  

Ora, essendo la funzione f crescente su tutto (a, b), ed essendo S l’estremo superiore dei valori

assunti dalla f su (a, b), se prendiamo un qualunque x tale che , per quell’ x si avrà

.

Dunque la disuguaglianza   

è verificata per tutti gli x dell’intervallo , essendo      C.V.D.