oppure:

Dunque una funzione è continua in un punto x₀ se e solo se, per definizione:

• è definita in x₀
• tende a limite, per x che tende a x₀;
• tale limite coincide col valore che la funzione assume con x=x₀

Possiamo anche dire che

Si ha una discontinuità di 1^a specie o di tipo “salto” quando esistono, al tendere di x a x₀, sia il lim. sinistro che il limite destro, e sono entrambi finiti, ma sono diversi fra loro, cosicché nell’attraversamento dell’ascissa x₀ si ha, appunto, un “salto”, uguale alla differenza fra il limite destro e quello sinistro. Esempi:

.

Questa funzione f(x) ha una discontinuità di 1^a specie, o di tipo “salto”, in x=0, in quanto

Il salto vale dunque  

Questa funzione g(x) ha una discontinuità di 1^a specie, o di tipo “salto”, in x=0 :

Il salto della g(x) nell’origine vale 2

Si ha una discontinuità di 2^a specie quando, al tendere di x a x₀, almeno uno fra i due limiti sinistro e destro o non esiste, oppure esiste ma è infinito. Esempi:

ha una discontinuità di 2^a specie in x=3 (limiti sinistro e destro infiniti)

ha una discontinuità di 2^a specie in x=0 (il limite destro è infinito)

ha una discontinuità di 2^a specie in x=0 (il limite non esiste)

Si ha una discontinuità di 3^a specie (discont. di tipo “buco”, discont. “eliminabile”)   quando, al tendere di x a x₀, la funzione tende ad un limite finito , che però non coincide con f(x₀),

o per il fatto che  oppure per il fatto che  non esiste, cioè la funzione non è definita in x₀. Esempi:

(“retta col buco”: discontinuità di 3^a   

                           specie in x=1)

 ma h(0) non esiste

(discontinuità di 3^a specie in x=0)

, ma  

Una funzione  si dice continua in un insieme E (o “su di un insieme E”) ,

se è continua in ogni punto di E.