40)   Continuità sul loro dominio delle funzioni elementari

Quanto abbiamo premesso, ossia che per le funzioni di utilizzo più comune la continuità è la “norma” e la discontinuità “ l‘eccezione ”, si riassume nei teoremi seguenti:

 

Sono continue su tutto il loro dominio (=in tutti i punti del loro dominio) le seguenti funzioni: (qualche dimostrazione è riportata più avanti, le altre dimostrazioni sono omesse)
funzione	dominio
con  polinomi
	;  valori in
	;  valori in
	;  valori in
	;  valori in

 

 

DIMOSTRAZIONE DELLA CONTINUITA’ DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI

 

Osservazione preliminare: poiché , per dimostrare che una data funzione  è continua in x0 si imposterà la disequazione   con l’obiettivo di far vedere che essa è verificata su tutto un intorno di x0 (come abbiamo già più volte sottolineato, non è necessario che l’intorno trovato sia circolare,  perché, comunque, qualsiasi intorno di un punto contiene sempre un intorno circolare di quel punto)

 

• Dimostriamo che la funzione costante
  
   è continua per ogni  
  

La tesi è:     

Osservazione: il contenuto del teorema è molto banale: ce ne scusiamo col lettore.

 

Dimostrazione.

Consideriamo un qualunque .

Impostiamo la disequazione:

  

per stabilire da quali valori di x è verificata.

Essa diventa, nella fattispecie:

 

e ci rendiamo immediatamente conto che è verificata qualunque fosse l’ x considerato in partenza,

vale a dire su tutto ; quindi la disequazione posta è verificata su tutto un intorno di x₀.

 

• Dimostriamo che la funzione identica
  
   è continua per ogni  
  

Tesi:   

Osservazione: anche questo teorema invoca indulgenza per la banalità del suo contenuto.

 

Dimostrazione.

Consideriamo un qualunque .

Impostiamo la disequazione:

.

Essa diventa, nella fattispecie:

 

ed è verificata per  , che è un intorno di x₀.

In pratica, il  può essere preso uguale a  (o, a maggior ragione,  ).

 

• Dimostriamo che una funzione polinomiale