SULLA DEFINIZIONE DI LIMITE

40) Continuità sul loro dominio delle funzioni elementari

Quanto abbiamo premesso, ossia che per le funzioni di utilizzo più comune la continuità è la “norma” e la discontinuità “ l‘eccezione ”, si riassume nei teoremi seguenti:

Sono continue su tutto il loro dominio (=in tutti i punti del loro dominio) le seguenti funzioni: (qualche dimostrazione è riportata più avanti, le altre dimostrazioni sono omesse)
*funzione*	*dominio*



con polinomi





	; valori in
	; valori in
	; valori in
	; valori in

DIMOSTRAZIONE DELLA CONTINUITA’ DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI

Osservazione preliminare: poiché

per dimostrare che una data funzione è continua in x₀ si imposterà la disequazione

con l’obiettivo di far vedere che essa è verificata su tutto un intorno di x₀

(come abbiamo già più volte sottolineato, non è necessario che l’intorno trovato sia circolare,

perché, comunque, qualsiasi intorno di un punto contiene sempre un intorno circolare di quel punto)

Dimostriamo che la funzione costante
è continua per ogni

La tesi è:

Osservazione: il contenuto del teorema è molto banale: ce ne scusiamo col lettore.

Dimostrazione.

Consideriamo un qualunque .

Impostiamo la disequazione:

per stabilire da quali valori di x è verificata.

Essa diventa, nella fattispecie:

e ci rendiamo immediatamente conto che è verificata qualunque fosse l’ x considerato in partenza,

vale a dire su tutto ; quindi la disequazione posta è verificata su tutto un intorno di x₀.

Dimostriamo che la funzione identica
è continua per ogni

Tesi:

Osservazione: anche questo teorema invoca indulgenza per la banalità del suo contenuto.

Dimostrazione.

Consideriamo un qualunque .

Impostiamo la disequazione:

Essa diventa, nella fattispecie:

ed è verificata per , che è un intorno di x₀.

In pratica, il può essere preso uguale a (o, a maggior ragione, ).

Dimostriamo che una funzione polinomiale

è continua per ogni , cioè che:

Dimostrazione.

Conseguenza di teoremi precedenti:

ü la funzione identica è continua per ogni :

ü il limite di una somma algebrica di più funzioni è uguale alla somma dei limiti, supposto che tutti questi limiti esistano e siano finiti

Dimostriamo che una funzione algebrica razionale fratta
con
polinomi ,

è continua su tutto il suo dominio (che è poi l’insieme degli x₀ che non annullano il denom. )

Dimostrazione.

Conseguenza di teoremi precedenti:

ü una funzione polinomiale è continua per ogni

ü Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti (supposto che entrambi i limiti esistano e siano finiti e inoltre che il limite della funzione a denominatore sia diverso da zero).

Dimostriamo che la funzione “seno” :
è continua per ogni

Per la dimostrazione, occorre preliminarmente provare che: e

Dimostriamo che

Vogliamo far vedere che la disequazione

(ossia ),

con numero positivo arbitrariamente prefissato,

è verificata in tutto un intorno dell’ascissa x₀=0.

Ma osserviamo la figura qui a fianco:

essa ci mostra che risulta sempre

quindi, qualora si abbia

cioè: qualora x appartenga all’intorno

di centro x₀=0 e raggio ,

è certamente, a maggior ragione,

La tesi è dimostrata: insomma, in corrispondenza di qualsivoglia prefissato, il che va bene esiste: basta prendere (o )

Osservazione:

una volta stabilita la disuguaglianza

la tesi avrebbe potuto anche essere dedotta applicando il “secondo teorema del confronto”.

x è la lunghezza dell’arco AP, misurato in radianti;

sen x è la misura del segmento HP.

Cominciamo col rilevare che il segmento PP’ è più corto dell’arco PP’

(questa disuguaglianza, ovvia all’intuizione, può essere comunque dedotta dalla definizione di lunghezza di una curva, che porta con sé come conseguenza il fatto che “fra tutti i cammini che congiungono due punti, quello rettilineo è il più breve”).

Quindi da cui

Abbiamo supposto, per semplicità, x>0; se il segno di x è arbitrario, vale invece la relazione

Il fatto che si può dedurre da tenendo conto delle formule goniometriche e di teoremi sui limiti, già acquisiti.

Siamo a questo punto pronti per la dimostrazione del nostro asserto:

“ la funzione “seno” è continua per ogni ”

Ci converrà porre la tesi sotto la forma

Ma la dimostrazione di questa relazione è ora semplicissima, combinando la formula di addizione del seno:

coi risultati precedenti e , applicati con h al posto di x.

41) Operazioni con funzioni continue

Dai teoremi sui limiti e dalla definizione di continuità segue che:

La somma, la differenza, il prodotto di due funzioni continue in uno stesso punto x₀

sono pure funzioni continue in x₀

La potenza con esponente intero positivo di una funzione continua in x₀

è pure una funzione continua in x₀

Il quoziente di due funzioni continue in x₀ è pure una funzione continua in x₀,

purché la funzione a divisore non si annulli in x₀.

Il valore assoluto di una funzione continua in x₀ è pure una funzione continua in x₀:

42) L’inversa di una funzione continua

Si può inoltre dimostrare (noi ci limitiamo ad enunciarlo) il seguente

Teorema sulla continuità della funzione inversa di una funzione continua:

SE una funzione è continua su di un insieme E, ed è invertibile su E,

ALLORA la sua funzione inversa è continua sull’insieme

(col simbolo si indica l’insieme delle immagini dei punti di E, attraverso la ).

La continuità, su tutto il loro dominio, delle inverse delle funzioni circolari

(si dice anche: “funzioni goniometriche inverse”):

arc sen x, arc cos x, arc tg x, arc cotg x,

può essere considerata come conseguenza del precedente Teorema sulla continuità della funzione inversa,

essendo stata preliminarmente provata la continuità delle rispettive funzioni dirette sen x, cos x, tg x, cotg x.