43) Composizione di funzioni, e in particolare di funzioni continue

Resta da considerare la cosiddetta COMPOSIZIONE DI FUNZIONI.

sono esempi di funzioni COMPOSTE. Analizziamo ad esempio :

…importante osservare che la funzione

che è stata applicata per ultima viene scritta per prima!

Se le due funzioni componenti , sono tali che:

è continua in un dato punto x, e è a sua volta continua in quel punto z, tale che ,

cosicché in qualche modo le due continuità si “saldino”, ci possiamo domandare:

sarà certamente continua (nel punto x) anche la funzione composta ?

La risposta (affermativa), è discussa nelle impegnative pagine seguenti, le quali giustificano anche i procedimenti di “sostituzione “ (“implicita” od “esplicita”) ai quali spesso occorre fare ricorso nel calcolo di un limite.

SOSTITUZIONE DI VARIABILE NELL'AMBITO DEL CALCOLO DI UN LIMITE

Obiettivo di questo paragrafo è di dimostrare che, eseguendo esercizi sui limiti, è corretto effettuare “sostituzioni di variabile”, esplicite o implicite, come negli esempi seguenti:

Sostituzione implicita:

Sostituzione esplicita:

Ciò si riassume dicendo che:

“ se la funzione f di cui vogliamo calcolare il limite dipende, a sua volta, da una funzione g(x)

che, quando x tende a c, tende ad un limite (finito o infinito), possiamo comportarci esattamente come se avessimo, al posto di g(x), una variabile indipendente z tendente a “

Vale infatti il seguente rilevante Teorema:

TEOREMA SUL LIMITE DI UNA FUNZIONE COMPOSTA, O

“TEOREMA DI SOSTITUZIONE”

(premetto che i simboli potranno indicare un numero finito, oppure , o , o ).

Supponiamo di voler calcolare il .

Supponiamo inoltre che siano verificate le seguenti due ipotesi:

II.

Allora avremo (TESI):

Dimostrazione

La tesi è che , cioè che

Fissiamo dunque, ad arbitrio, un .

Per l'ipotesi II), in corrispondenza di questo esisterà un tale che

Per l'ipotesi I), in corrispondenza di questo esisterà poi un tale che

Ci rendiamo ora conto di una difficoltà.

ci dice che la funzione g

(quella che viene applicata per prima),

quando opera sugli x di ,

genera valori che stanno in ;

afferma che quando la funzione f

opera su valori che stanno in ,

genera valori che stanno in

con una possibile eccezione:

quando , il valore f(z) potrebbe anche

a) non esistere oppure b) stare fuori da .

Se non intervenisse questa possibile eccezione, la tesi sarebbe dimostrata, e sarebbe l’intorno di c di cui si voleva provare l’esistenza.

Abbiamo scoperto che, per assicurare la validità della tesi, occorre un’ipotesi supplementare, ossia che

III. esista un intorno di c, per ogni x del quale (escluso, tutt’al più, c), il valore sia sempre .

Se, dunque, vale l’ipotesi supplementare III, avremo che

per ogni x di risulterà contemporaneamente e , ossia

Quindi avremo, combinando con ,

In corrispondenza dell' arbitrariamente fissato, si è quindi provato che esiste un intorno di c

(si tratta di ) per ogni x del quale, eccettuato al più x=c se c è finito, risulta .

La tesi è dimostrata. Ma c’è stato bisogno dell’ipotesi supplementare III.

OSSERVAZIONE 1: la scarsa incidenza dell’ipotesi supplementare

E’ pur vero che questa ipotesi supplementare è quasi sempre verificata, a meno di andare a scomodare situazioni particolarissime ed estremamente poco frequenti.

Consideriamo ad esempio la funzione

Essa è tale che

Osserviamo che assume, in qualsiasi intorno dell’ascissa c=0, infinite volte il valore 0 e quindi assume, in qualsiasi intorno dell’ascissa c=0, infinite volte il valore 4.

Consideriamo poi la funzione

Avremo

Se ora noi costruiamo la funzione composta , vediamo che essa assume,

in ogni intorno di c=0, infinite volte il valore 50 e infinite volte il valore 100, quindi non tenderà a nessun limite se facciamo tendere x a 0.

Non è quindi verificata la tesi del Teorema, ossia ,

per il fatto che il teorema stesso non è applicabile, non valendo l’ipotesi supplementare III.

Che funzione strana abbiamo dovuto chiamare in causa per poter costruire questo controesempio!

· Osserviamo ancora che, nel caso sia infinito, il problema dell’ipotesi supplementare semplicemente non si pone.

OSSERVAZIONE 2: l’ipotesi supplementare è superflua se è continua in .

Possiamo fare anche un’altra osservazione, ancora più importante della precedente.

Abbiamo avuto bisogno dell’ipotesi supplementare III quando ci siamo accorti che mancavano del tutto, nell’ipotesi originaria del teorema, condizioni sul comportamento della funzione IN ;

il valore poteva anche

a) non esistere

b) esistere ma non coincidere con ,

Queste due circostanze avrebbero portato il valore , nel caso fosse , rispettivamente

a) a non esistere

b) a collocarsi, purché venisse preso sufficientemente piccolo, FUORI dall’intorno , anche qualora il punto x tale che appartenesse a .

Se però e è CONTINUA in , allora avremo e il valore

esiste ed è automaticamente contenuto in qualsiasi intorno di ,

quindi non “rischia” più di non esistere, né di stare al di fuori dell’intorno .

In definitiva:

l’ipotesi supplementare III è del tutto superflua

nel caso sia un valore finito e la funzione sia continua in .

COROLLARIO 1

SE la funzione è continua in x₀ e la funzione è continua in ,

ALLORA la funzione composta è continua in x₀.

Dimostrazione. Infatti , sotto le predette ipotesi di continuità, si ha

e ciò implica, per il Teorema sul Limite di una Funzione Composta appena dimostrato (la cui applicazione, data la continuità di f, non richiede l’ipotesi supplementare III),

, ossia la continuità in x₀ della funzione composta .

Potremmo ricordare più facilmente questo importante Corollario enunciandolo nel modo seguente,

piuttosto vago ma utile, appunto, per tenere a mente il concetto:

la funzione ottenuta componendo due funzioni continue

è ancora una funzione continua.

OSSERVAZIONE 3

(uno “slogan” importante per i futuri ingegneri, matematici, fisici, ecc.)

Se e una funz. è continua in , cioè , allora, presa una qualsivoglia funz. tale che , il Teorema di Sostituzione (senza bisogno dell’ipotesi supplementare, data la continuità della f in ) ci assicura che e, compattando la scrittura,

il che autorizza a formulare il seguente “slogan” (vago, ma efficace):

le funzioni continue sono tutte e sole quelle funzioni per le quali il simbolo di limite si può portare da “fuori” a “dentro” il simbolo di funzione, e viceversa.

La frasetta dev’essere utilizzata come un rimando all’uguaglianza (1): insomma,

lo “slogan” condensa l’affermazione che

“una funzione è continua in un punto se e solo se per la

vale l’uguaglianza (1), comunque si prenda una funzione che tende a ” (NOTA).

Quando sentirai citare questa importantissima proprietà nei corsi universitari, dove si rivelerà decisiva per taluni passaggi dimostrativi, ricordati del tuo vecchio professore di Liceo.

La proposizione si ricorda bene se si pensa che generalizza l’ovvia biimplicazione seguente:

NOTA: abbiamo appena fatto vedere che, se f è continua in , allora, qualunque sia la funzione g(x) tendente a , vale la (1);

se, viceversa, per una data funzione f vale la (1) qualunque sia la funzione g(x) tendente a , allora, preso il caso particolare g(x)=x,

e facendo tendere x a (da cui ), avremo quindi la f sarà continua in .

COROLLARIO 2: Una funzione della forma , se e sono continue ciascuna sul

proprio dominio, è cont. sul suo dominio; in particolare, una potenza ad esponente irrazionale

è una funzione continua su tutto il suo dominio.

Dimostrazione: immediatamente deducibile dal Teorema sul Limite della Funzione Composta utilizzando l’ identità

e tenendo presenti teoremi già acquisiti, in particolare la continuità della funzione logaritmica.