43) Composizione di funzioni, e in particolare di funzioni continue
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Resta da considerare la cosiddetta COMPOSIZIONE DI FUNZIONI.
sono esempi di funzioni COMPOSTE. Analizziamo ad esempio
che è stata applicata per ultima viene scritta per prima!
Se le due funzioni componenti
cosicché in qualche modo le due continuità si “saldino”, ci possiamo domandare: sarà certamente continua (nel
punto x) anche la funzione composta La risposta (affermativa), è discussa nelle impegnative pagine seguenti, le quali giustificano anche i procedimenti di “sostituzione “ (“implicita” od “esplicita”) ai quali spesso occorre fare ricorso nel calcolo di un limite.
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SOSTITUZIONE DI VARIABILE NELL'AMBITO DEL CALCOLO DI UN LIMITE
Obiettivo di questo paragrafo è di dimostrare che, eseguendo esercizi sui limiti, è corretto effettuare “sostituzioni di variabile”, esplicite o implicite, come negli esempi seguenti:
Sostituzione implicita:
Sostituzione esplicita:
Ciò si riassume dicendo che:
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“ se la funzione f di cui vogliamo calcolare il limite dipende, a sua volta, da una funzione g(x) che, quando x tende a c, tende ad un limite
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Vale infatti il seguente rilevante Teorema:
TEOREMA SUL LIMITE DI UNA FUNZIONE COMPOSTA, O“TEOREMA DI SOSTITUZIONE”(premetto che i simboli Supponiamo
di voler calcolare il Supponiamo inoltre che siano verificate le seguenti due ipotesi:
I.
II.
Allora avremo (TESI): |
La tesi è
che ,
cioè che
Fissiamo
dunque, ad arbitrio, un .
Per
l'ipotesi II), in corrispondenza di
questo esisterà un
tale che
Per
l'ipotesi I), in corrispondenza di
questo esisterà poi un
tale che
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Ci rendiamo ora conto di una difficoltà.
(quella che viene applicata per prima), quando opera sugli x di
genera valori che stanno in
opera su valori che stanno in genera valori che stanno in con una possibile eccezione: quando a)
non esistere oppure b) stare fuori da |
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Se non
intervenisse questa possibile eccezione, la tesi sarebbe dimostrata, e sarebbe l’intorno di c di cui si voleva
provare l’esistenza.
Abbiamo scoperto che, per assicurare la validità della tesi, occorre un’ipotesi supplementare, ossia che
III.
esista un intorno di c, per ogni x del quale (escluso, tutt’al
più, c), il valore
sia sempre
.
Se, dunque, vale l’ipotesi supplementare III, avremo che
per ogni
x di risulterà contemporaneamente
e
,
ossia
Quindi
avremo, combinando con
,
In
corrispondenza dell' arbitrariamente fissato, si è quindi provato
che esiste un intorno di c
(si
tratta di ) per ogni x del quale, eccettuato al più x=c
se c è finito, risulta
.
La tesi è dimostrata. Ma c’è stato bisogno dell’ipotesi supplementare III.
OSSERVAZIONE 1: la scarsa incidenza dell’ipotesi supplementare
E’ pur vero che questa ipotesi supplementare è quasi sempre verificata, a meno di andare a scomodare situazioni particolarissime ed estremamente poco frequenti.
Consideriamo ad esempio la funzione
Essa è tale che Osserviamo che
Consideriamo poi la funzione
Avremo
ma
Se ora noi costruiamo la funzione composta in ogni intorno di c=0, infinite volte il valore 50 e infinite volte il valore 100, quindi non tenderà a nessun limite se facciamo tendere x a 0.
Non è quindi verificata la tesi del Teorema, ossia per il fatto che il teorema stesso non è applicabile, non valendo l’ipotesi supplementare III. Che funzione strana abbiamo dovuto chiamare in causa per poter costruire questo controesempio! ·
Osserviamo ancora che, nel caso |
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OSSERVAZIONE 2: l’ipotesi supplementare è superflua se
Possiamo fare anche un’altra osservazione, ancora più importante della precedente.
Abbiamo
avuto bisogno dell’ipotesi supplementare III quando ci siamo accorti
che mancavano del tutto, nell’ipotesi originaria del teorema, condizioni sul
comportamento della funzione il valore
a) non esistere b)
esistere
ma non coincidere con Queste due
circostanze avrebbero portato il valore a) a non esistere b)
a
collocarsi, purché
Se però esiste ed
è automaticamente contenuto in qualsiasi intorno di quindi
non “rischia” più di non esistere, né di stare al di fuori dell’intorno In definitiva: l’ipotesi supplementare III è del tutto superflua nel caso
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COROLLARIO 1SE la funzione ALLORA la funzione composta
Dimostrazione. Infatti , sotto le predette ipotesi di continuità, si ha
e ciò implica, per il Teorema sul Limite di una Funzione Composta appena dimostrato (la cui applicazione, data la continuità di f, non richiede l’ipotesi supplementare III),
piuttosto vago ma utile, appunto, per tenere a mente il concetto: la funzione ottenuta componendo due funzioni continue è ancora una funzione continua. |
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OSSERVAZIONE 3 (uno “slogan” importante per i futuri ingegneri, matematici, fisici, ecc.) Se
il che autorizza a formulare il seguente “slogan” (vago, ma efficace): le funzioni continue sono tutte e sole quelle funzioni per le quali il simbolo di limite si può portare da “fuori” a “dentro” il simbolo di funzione, e viceversa.
La frasetta dev’essere utilizzata come un rimando all’uguaglianza (1): insomma, lo “slogan” condensa l’affermazione che “una funzione vale l’uguaglianza (1), comunque si prenda una
funzione Quando sentirai citare questa importantissima proprietà nei corsi universitari, dove si rivelerà decisiva per taluni passaggi dimostrativi, ricordati del tuo vecchio professore di Liceo.
La proposizione si ricorda bene se si pensa che generalizza l’ovvia biimplicazione seguente:
NOTA: abbiamo appena fatto
vedere che, se f è continua in se, viceversa, per una data
funzione f vale la (1) qualunque sia la funzione g(x) tendente a e facendo tendere x a |
COROLLARIO 2: Una
funzione della forma
proprio dominio, è cont. sul suo dominio; in particolare, una potenza ad esponente irrazionale
Dimostrazione: immediatamente deducibile dal Teorema sul Limite della Funzione Composta utilizzando l’ identità e tenendo presenti teoremi già acquisiti, in particolare la continuità della funzione logaritmica. |