43) Composizione di funzioni, e in particolare di funzioni continue

 

 

Resta da considerare la cosiddetta COMPOSIZIONE DI FUNZIONI.

 

 

sono esempi di funzioni COMPOSTE. Analizziamo ad esempio :

 

 

 …importante osservare che la funzione

                                                                                     che è stata applicata per ultima viene scritta per prima!

 

 

Se le due funzioni componenti ,  sono tali che:

 è continua in un dato punto x, e  è a sua volta continua in quel punto z, tale che ,

cosicché in qualche modo le due continuità si “saldino”, ci possiamo domandare:

sarà certamente continua (nel punto x) anche la funzione composta ?

La risposta (affermativa), è discussa nelle impegnative pagine seguenti, le quali giustificano anche i procedimenti di “sostituzione “ (“implicita” od “esplicita”) ai quali spesso occorre fare ricorso nel calcolo di un limite.

 

 

SOSTITUZIONE DI VARIABILE NELL'AMBITO DEL CALCOLO DI UN LIMITE

 

Obiettivo di questo paragrafo è di dimostrare che, eseguendo esercizi sui limiti, è corretto effettuare “sostituzioni di variabile”, esplicite o implicite, come negli esempi seguenti:

Sostituzione implicita:           

 

Sostituzione esplicita:   

 

Ciò si riassume dicendo che:

 

 

“ se la funzione f di cui vogliamo calcolare il limite dipende, a sua volta, da una funzione  g(x) 

che, quando x tende a c, tende ad un limite  (finito o infinito), possiamo comportarci esattamente come se avessimo, al posto di g(x), una variabile indipendente z tendente a  “

 

 

Vale infatti il seguente rilevante Teorema:

 

 

TEOREMA SUL LIMITE DI UNA FUNZIONE COMPOSTA, O

“TEOREMA DI SOSTITUZIONE”

(premetto che i simboli   potranno indicare un numero finito, oppure , o  , o    ).

Supponiamo di voler calcolare il  .

Supponiamo inoltre che siano verificate le seguenti due ipotesi:

                                I.       

                              II.       

Allora avremo (TESI):

             

Dimostrazione

La tesi è che , cioè che   

Fissiamo dunque, ad arbitrio, un .

Per l'ipotesi  II), in corrispondenza di questo  esisterà un  tale che

 

Per l'ipotesi  I), in corrispondenza di questo  esisterà poi un  tale che

 

 

Ci rendiamo ora conto di una difficoltà.

 ci dice che la funzione g

         (quella che viene applicata per prima),

         quando opera sugli x di  , 

         genera valori che stanno in ;

 

   afferma che quando la funzione f

         opera su valori che stanno in ,

         genera valori che stanno in   

         con una possibile eccezione:

         quando , il valore f(z) potrebbe anche

a) non esistere   oppure    b) stare fuori da .

Se non intervenisse questa possibile eccezione, la tesi sarebbe dimostrata, e  sarebbe l’intorno di c di cui si voleva provare l’esistenza.

 

Abbiamo scoperto che, per assicurare la validità della tesi, occorre un’ipotesi supplementare, ossia che

      III.      esista un intorno  di c, per ogni x del quale (escluso, tutt’al più, c), il valore  sia sempre .

 

Se, dunque, vale l’ipotesi supplementare III, avremo che

per ogni x di  risulterà contemporaneamente  e , ossia

 

Quindi avremo, combinando  con ,

 

In corrispondenza dell'  arbitrariamente fissato, si è quindi provato che esiste un intorno di c

(si tratta di  ) per ogni x del quale, eccettuato al più x=c se c è finito, risulta .       

La tesi è dimostrata. Ma c’è stato bisogno dell’ipotesi supplementare III.

 

OSSERVAZIONE 1: la scarsa incidenza dell’ipotesi supplementare

 

E’ pur vero che questa ipotesi supplementare è quasi sempre verificata, a meno di andare a scomodare situazioni particolarissime ed estremamente poco frequenti.

 

Consideriamo ad esempio la funzione