44) REGOLE PER IL CALCOLO DI LIMITI PARTICOLARI; LIMITI NOTEVOLI

 

Regola per il calcolo del limite di un polinomio, quando  o

 

Generalizzando quanto suggeriscono opportuni esempi, si trae la seguente regola:

al tendere di x a  o , un polinomio  tende sempre all’infinito; per stabilire il segno di questo infinito, si può procedere in due modi:

  • raccogliere x elevato all’esponente più alto
  • considerare esclusivamente il comportamento del termine di grado massimo

(occorrerà tenere conto del segno del coefficiente e, qualora x tenda a , della parità o disparità dell’esponente)

Esercizio

Deduci dalla regola precedente la proposizione:

“un’equazione algebrica di grado dispari a coefficienti reali, ha sempre almeno una radice reale”

 

Regola per il calcolo del limite di un rapporto di polinomi, quando  o

 

Generalizzando quanto suggeriscono opportuni esempi, si trae la seguente regola.

Al tendere di x a  o , un rapporto di polinomi

 

tende ad un limite che può essere:

 

  • se prevale il grado del numeratore: ,

con un segno determinato dalla “regola dei segni” applicata considerando soltanto i termini di grado massimo   a numeratore e denominatore

(occorrerà tenere conto dei segni dei coeff. e, qualora x tenda a  della parità o disparità della diff. fra gli esponenti)

  • se prevale il grado del denominatore:  
  • se numeratore e denominatore hanno ugual grado: , 

ossia il  rapporto tra i coefficienti dei due termini di grado massimo.

 

E’ pur vero che di questa regola (=terna di regole) si potrebbe benissimo fare a meno, perché, dovendo calcolare il limite per x che tende a infinito di un rapporto di polinomi, basta raccogliere xn a numeratore, xm a denominatore, semplificare i monomi raccolti e tener conto dei termini evanescenti entro le parentesi:

tuttavia, la regola è utilissima, perché spesso un limite di questo tipo è solo una componente di un esercizio più complesso, per cui conviene saper valutare immediatamente il valore del limite, senza dover fare passaggi intermedi.

 

 

Regola per il calcolo del limite di un rapporto di polinomi, quando  

In questo caso, il calcolo del limite è di norma immediato.

Osserviamo in particolare che se con x=x0 si annulla soltanto il denominatore, il limite è infinito e per stabilire il segno di questo infinito si dovrà generalmente distinguere fra limite sinistro e limite destro, e converrà di solito scomporre il denominatore in fattori, se è di grado superiore al 1°.

Ma può, eccezionalmente, presentarsi una Forma di Indecisione: ciò avviene nel caso in cui, con x=x0,             si annullino contemporaneamente sia il numeratore che il denominatore: .

Quando accade ciò, compare una F.I. [0/0], che si scioglie sempre per scomposizione e semplificazione. Infatti:

  • essendo , per il Teorema del Resto il polinomio A(x) è divisibile per il binomio  

e quindi è scomponibile in un prodotto della forma  

  • ed essendo , per il Teor. del Resto il polinomio B(x) è divisibile per il binomio  

e quindi è scomponibile in un prodotto della forma  

cosicché si avrà  con la possibilità di semplificare per (x-x0)

 

Limite notevole:

      

 

 

Dimostrazione

Prima di tutto, osserviamo che la funzione  è pari:

infatti  

Pertanto il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate e da ciò si trae che basterà dimostrare la relazione

 

Consideriamo dunque un valore di x positivo ( e sufficientemente piccolo: per lo meno minore di  ),

e consideriamo la figura seguente:

Abbiamo:

 

e vale la doppia disuguaglianza (NOTA):

 

ossia

 

da cui, dividendo per sen x (stiamo supponendo sen x positivo, quindi i versi rimangono invariati):

 

e passando ai reciproci (il che comporta un cambiamento di verso):

 

ovvero, trascrivendo da destra verso sinistra:

 

Ora, per , il primo anello della catena (cos x) tende a 1; l’ultimo anello è addirittura costantemente uguale a 1; quindi, per il “Teorema “dei Due Carabinieri”, segue la tesi.

 

NOTA:

 era già stata giustificata nel corso della dimostrazione del limite     

In quanto alla disuguaglianza  , essa  può essere giustificata nel modo seguente:

 

Un limite notevole:

        

Dimostrazione: