45)   Nuove Forme di Indecisione (con potenze)

 

Oltre alle F.I. già rilevate in passato, ci si può rendere conto che ne esistono altre, legate alle potenze . Esse sono:

 

Cerchiamo di comprendere il motivo per cui  si tratta di  “Forme di Indecisione”.

 

 

Abbiamo una funzione della forma , con  e   

Il tendere a 0 della base “vorrebbe” far tendere la potenza:

·          a 0, in caso di esponente positivo;

·          a , in caso di esponente negativo.

D’altra parte c’è anche il tendere a 0 dell’esponente, che “vorrebbe” invece far tendere la potenza a 1.

Il “conflitto” è responsabile dell’indecisione.

 

 

 

Qui abbiamo una funzione della forma , con  e   

La base tende a , e questo “vorrebbe” far tendere la potenza:

·          a , in caso di esponente positivo;

·          a 0, in caso di esponente negativo.

Ma c’è anche, nello stesso tempo, il tendere a 0 dell’esponente, che “vorrebbe” invece far tendere la potenza a 1.

Il “conflitto” è responsabile dell’indecisione.

 

 

Abbiamo una funzione della forma , con  e   

Il tendere a  1 della base “vorrebbe” far tendere la potenza a 1;

d’altra parte, appunto, la base f(x) non è uguale a 1, bensì è “vicina” a 1.

·          Se f(x) è leggermente superiore a 1, il tendere all’infinito dell’esponente “vorrebbe” far tendere la potenza:

ü        a , se l’esponente tende all’infinito positivo;

ü        a 0, se l’esponente tende all’infinito negativo;

si ha comunque, in entrambi i casi, un conflitto rispetto a quella “propensione” a tendere a 1, di cui si parlava all’inizio.

.

·          Se f(x) è leggermente inferiore a 1, il tendere all’infinito dell’esponente “vorrebbe” far tendere la potenza:

ü        a 0, se l’esponente tende all’infinito positivo;

ü        a , se l’esponente tende all’infinito negativo;

si ha in ognuno dei due casi un conflitto rispetto a quella “propensione” a tendere a 1, di cui si parlava all’inizio.

 

 

 

 

E a questo punto, scusatemi un attimo soltanto, perché devo fare un salto in banca.

 

46)    Un problema di soldi porta al numero di Nepéro e.

 

Cosa vuol dire depositare L. 1.000.000  “all’interesse annuo del 5%” ?

Vuol dire che la cifra depositata (il “capitale”, o “montante iniziale”), dopo 12 mesi esatti frutterà un interesse  uguale a 0,05 X 1.000.000, cioè un interesse di L. 50.000. In quel momento, il “montante” salirà dunque a L. 1.050.000.

Dopo altri 12 mesi, la banca verserà al cliente un nuovo interesse, ottenuto dal calcolo 0,05 X 1.050.000 = L. 52.500

e il montante salirà a L. 1.102.500.

(In realtà, gli interessi vengono “capitalizzati”, cioè vengono aggiunti al montante per dar luogo al nuovo montante più alto su cui verrà calcolato il nuovo interesse, non a intervalli di 12 mesi a partire dall’apertura del conto bancario, ma alla fine di ogni anno solare. Comunque tu puoi, per meglio fissare le idee, riconfermare alla lettera il discorso fatto prima, semplicemente supponendo che la somma iniziale di L. 1.000.000 sia stata depositata proprio il 1° di Gennaio (In tutto il discorso, per mitigarne la complessità, introdurremo qualche ipotesi piuttosto poco “realistica”, che ti prego di valutare con elasticità ed “indulgenza” ).

 

Adesso poniamo uguale a 1 il montante iniziale.

Indichiamo con p l’interesse percentuale (nell’esempio di partenza era p=0,05).

 

Dopo 1 anno...???  Allo scadere di 1 anno avremo un montante uguale a (1+p):

                                possiamo anche dire che in 1 anno il montante, che valeva inizialmente 1,

                                subisce una moltiplicazione per (1+p)

 

Dopo 2 anni...???   Allo scadere di 2 anni il nuovo montante (1+p) verrà a sua volta moltiplicato per  (1+p)

                                perché a quello che è il nuovo montante (1+p) andranno aggiunti gli interessi calcolati su QUEL        

                                montante, che ammontano a (1+p)p, quindi avremo M = (1+p)+(1+p)p=(1+p)(1+p)=(1+p)²

 

Dopo 3 anni...???   Allo scadere di 3 anni il nuovo montante (1+p)²  verrà a sua volta moltiplicato per  (1+p) e si avrà il       

                                montante M = (1+p)³

 

Dopo n anni...???   Allo scadere di n anni il montante varrà M = (1+p)ⁿ

 

Ho depositato, oggi 1° Gennaio, un montante 1. Se dopo 6 mesi esatti volessi estinguere il conto, cosa ritirerei?

Ritirerei 1+p/2, perchè invece dell’interesse p (che avrei ottenuto se avessi lasciato i soldi sul conto per 12 mesi) la banca me ne darebbe solo la metà.

Ma a questo punto ho un’idea. Per far fruttare meglio i miei soldi, farò così: estinguerò il conto dopo 6 mesi, ritirerò il montante 1+p/2, riaprirò un nuovo conto depositando questa somma 1+p/2 e per i rimanenti 6 mesi dell’anno percepirò un interesse calcolato non più sul montante 1, ma sul montante superiore 1+p/2! Alla fine dei 12 mesi, il mio montante sarà maggiore che se io avessi lasciato “dormire” il montante 1 per tutto l’anno, senza compiere l’operazione intermedia!

Questo peraltro da un punto di vista pratico è puramente illusorio (infatti, ogniqualvolta si estingue un conto si deve pagare una certa somma di denaro alla banca per il lavoro che gli impiegati devono fare per provvedere alla chiusura del conto, e analogamente avviene quando si apre un nuovo conto, per cui, viste le due “cifre fisse” da pagare per la doppia operazione (estinzione del conto vecchio/apertura del nuovo), alla fin fine la doppia operazione non conviene.

Ma facciamo finta che tali tariffe fisse di apertura e chiusura del conto siano nulle. Pensiamo insomma a cosa accadrebbe se la banca ci desse la possibilità di “capitalizzare istantaneamente”, a “costo zero”, gli interessi, cioè:

frazionasse l’anno in periodi di tempo infinitesimi dt, e allo scadere di ogni dt  aumentasse il montante dell’interesse maturato nel tempo dt, e così via… come se allo scadere di ogni intervallino di tempo dt venisse chiuso un conto e ne venisse aperto un altro col montante leggermente superiore  - “a costo zero” , ripeto, nel senso che supponiamo che la banca ci abbuoni le somme da pagare per l’estinzione+riapertura del conto.

Quanto percepiremmo dopo 1 anno, se la banca ci trattasse così bene?

 

Per rispondere a questa domanda, divideremo il periodo di tempo di 1 anno in n sottoperiodi da 1/n di anno, calcoleremo il montante maturato alla fine dell’anno (che dipenderà da n), poi faremo tendere n a infinito.

Dunque, indicando con  il montante dopo k periodi da 1/n di anno, avremo:

 

Dobbiamo ora calcolare il , CHE E’ UNA FORMA DI INDECISIONE  

Per semplicità, poniamo p=1 (che corrisponderebbe a un interesse “da sogno”: il 100% annuo! Ma noi siamo a questo punto interessati all’aspetto puramente matematico della questione) e proponiamoci di studiare il

   che si presenta come una F.I.  

Bene! Si può dimostrare che

Vale il seguente limite notevole:         dove il simbolo  indica un numero irrazionale, detto “numero di Nepéro”, le cui prime cifre decimali sono 2,71828…

 

Dimostrazione

Non la esponiamo nei particolari; citiamo semplicemente gli strumenti matematici che consentono di effettuarla.

Si può provare che la successione  è:

• strettamente crescente  
  
• e superiormente limitata  
  

 

Per il “Teorema di esistenza del limite delle funzioni monotone”, adattato alle “successioni” (cioè: a quelle situazioni in cui, al posto di una variabile x che varia in modo “continuo” , abbiamo una variabile n che varia in modo “discreto”, vale a dire assume i suoi valori in N o in N* ) la successione tenderà perciò, al tendere di n a , ad un limite finito.

Tale limite viene per l’appunto indicato col simbolo .

 

Si dimostra che  è irrazionale; anzi, è addirittura “trascendente”, ossia non è soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali.

 

·          Per esercizio, puoi scrivere un programma, in un linguaggio di programmazione a te noto (es. Turbo Pascal), che ne calcoli approssimazioni successive sempre più precise, tramite la determinazione di  a_n per valori di n sempre più elevati.

 

Si può poi dimostrare che, anche se al posto di una variabile discreta n abbiamo una variabile continua x (e inoltre: tanto per  quanto per  ), risulta:

Ritorniamo ora al nostro problema della capitalizzazione istantanea degli interessi, per determinare il .

Dunque:

 

Ad esempio, con p=0.05 (interesse annuo del 5%), se il nostro patrimonio iniziale fosse di 1 milione,

• in regime “normale” allo scadere di 1 anno ritireremmo 1,05 milioni
• mentre in regime di “capitalizzazione istantanea degli interessi” ritireremmo milioni  
  

 

 

 

47)      Limiti “imparentati” col limite che definisce il numero e

 

Partendo dal ,   che possiamo scrivere come   si può dimostrare, con opportune e non difficili applicazioni del “Teorema di Sostituzione” (analogamente a quanto abbiamo fatto poc’anzi con il problema delle capitalizzazioni istantanee ad interesse p),  che sussistono i seguenti limiti notevoli:
… ai quali se ne potrebbero aggiungere altri … ma tutto sommato non è assolutamente il caso, perché i limiti notevoli sopra elencati, “figli” del limite fondamentale , e tutte le varianti che si potrebbero escogitare ponendo, ad esempio, mx o  anziché x ad esponente, più che essere studiati a memoria si devono saper “ricostruire” tramite procedimenti opportuni basati sostanzialmente su sostituzioni (esplicite o, meglio implicite), così come abbiamo fatto sul problema delle capitalizzazioni istantanee ad interesse p.