Particolari, semplici successioni: le progressioni
Progressioni aritmetiche
Si dice “progressione aritmetica” una successione di numeri tali che la differenza fra ciascuno di essi e il precedente sia costante (quindi ciascun termine è ottenibile dal precedente addizionandogli una costante).
La differenza costante tra ogni termine di una
progressione aritmetica e il precedente si dice “ragione”
della progressione (indicheremo la ragione col simbolo ,
dall’iniziale di “differenza”).
Es.
La successione è una progressione aritmetica di ragione
.
La successione è una progressione aritmetica di ragione
.
Data una progressione aritmetica di ragione
,
è facilissimo verificare che valgono le seguenti uguaglianze:
(per definizione)
Se di una progressione aritmetica consideriamo soltanto un numero finito di termini consecutivi (ad esempio,
soltanto i primi n termini), parleremo di progressione aritmetica finita.
Sussiste il seguente
Teorema. - La somma dei termini di una progressione aritmetica finita è uguale alla semisomma dei
termini estremi moltiplicata per il numero dei termini:
Dimostrazione.
La tecnica dimostrativa è perfettamente analoga a quella seguita per ricavare la ben nota “Formula di Gauss” 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 . Dunque:
dove risulta per il fatto che
e così per tutte le altre coppie di termini in colonna:
Se ora consideriamo che
avremo
C.V.D.
Applicazioni del teorema: verificare che
·
la somma dei primi n numeri dispari: è uguale a
·
la somma dei primi n numeri pari:
è uguale a