Progressioni geometriche

 

Si dice “progressione geometrica” una successione di numeri tali che il rapporto fra ciascuno di essi e il precedente sia costante quindi ciascun termine è ottenibile dal precedente moltiplicandolo per una costante).

Il rapporto costante tra ogni termine (escludendo, ovviamente, il primo) e il precedente si dice “ragione” della progressione, e viene di solito indicato col simbolo .

 

Es.

La successione   è una progressione geometrica di ragione .

La successione   è una progr. geometrica di ragione .

 

Se la ragione q vale 1 i termini sono tutti uguali; escluderemo perciò questo caso, privo di interesse.

Se la ragione è positiva tutti i termini sono dello stesso segno; se è negativa, i termini hanno segno alterno.

Noi supporremo sempre, per semplicità, che la ragione q sia positiva e che tutti i termini siano positivi;

ciò che diremo potrà essere in qualche modo poi “adattato” al caso in cui i termini abbiano segno alterno,  ma adattamenti di questo genere saranno lasciati al lettore.

Data una progressione geometrica  di ragione , è facilissimo verificare che valgono le seguenti uguaglianze:

  (per definizione)  

           …        

e, più in generale,  

 

Se di una progressione geometrica consideriamo soltanto un numero finito di termini consecutivi

(ad esempio, soltanto i primi n termini), parleremo di progressione geometrica finita.

 

·         Determiniamo ora il valore della somma dei termini di una progressione geometrica finita.

Cominciamo con l’osservare che

 

quindi il problema si riconduce a quello del calcolo della somma .

 

Come si può facilmente verificare, vale la formula di scomposizione

 

e tale formula è vera per tutti gli  (NOTA)

NOTA: Abbiamo spesso ripetuto che, con n pari, quando il nostro obiettivo è di scomporre “ad oltranza” il binomio , l’applicazione della formula è poco conveniente, ed è consigliabile piuttosto iniziare con una “scomposizione come differenza        di quadrati”. Ma non è una scomposizione “ad oltranza” che ci interessa in questo momento.

 

Ora, applicando la formula con a=1 e b=q, avremo:

 

da cui  .

In definitiva, la somma dei termini di una progressione geometrica finita di ragione q

(oppure: la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q) è

 

 

Esercizio.  Verifica che il prodotto  dei termini di una progressione geom. finita  vale