·        Limite di una successione

 

Una successione, come abbiamo visto, può essere pensata come una particolare funzione: una funzione il cui dominio sia N o un suo sottoinsieme infinito (noi prenderemo sempre come dominio N oppure N*).

Spesso è interessante chiedersi a quale valore tende a_n  quando n diventa “molto grande”, “tende all’infinito”.

Ad esempio, è del tutto spontaneo affermare che la successione

 tende a 0 al tendere di n a  

mentre la successione

 tende a 1 quando .

Prima di tutto, osserviamo che il tendere a  di n (variabile “discreta”) è, sotto un certo aspetto , diverso dal tendere a  di una variabile “continua” x;  la variabile discreta assume solo CERTI valori, crescendo  “a scatti”, “a salti”, mentre una variabile continua cresce assumendo  TUTTI i valori intermedi.

Per il resto, però, nulla cambia nell’idea di base che ci conduce alla nozione di limite: abbiamo una variabile indipendente n (discreta anziché continua), a cui facciamo assumere valori arbitrariamente alti, e ci chiediamo che valore tende ad assumere il corrispondente termine a_n  della successione.

La definizione precisa di “limite di una successione a_n  quando n tende a  ” dovrà essere, quindi, perfettamente analoga a quella di “limite di una funzione f(x) quando x tende a  ”.

Occorrerà soltanto qualche piccolo adattamento.

Aggiungiamo una banalissima osservazione:

nel caso di una variabile discreta n, che può assumere i suoi valori soltanto nell’ambito dell’insieme dei numeri naturali,  sarebbe assurdo pensare di far tendere n a , oppure ad un valore finito: questo è ben ovvio! Quindi, evidentemente,     le uniche definizioni che ci interesseranno saranno quelle di “limite (finito o infinito) di una successione, quando n tende a  ”.  E per brevità, non essendo possibili equivoci, al posto di  scriveremo semplicemente .

 

Dunque:

esiste un numero naturale  tale che, per ogni numero naturale , si abbia         esiste un numero naturale  tale che, per ogni numero naturale , si abbia         esiste un numero naturale  tale che, per ogni numero naturale , si abbia

 

Una successione si dice: CONVERGENTE se tende ad un limite finito, DIVERGENTE se tende a infinito, INDETERMINATA se non tende ad alcun limite.
Esempio: verificare, applicando la definizione, che la successione  tende a 1 per .

Impostiamo la disequazione  

con l’obiettivo di mostrare che esiste un numero naturale  tale che essa sia verificata per tutti gli .

 

Pertanto la verifica richiesta è positivamente conclusa: si può prendere come  un qualsiasi intero fra quelli non inferiori al numero .

 

Teoremi sui limiti di successioni

 

Estendono la loro validità alle successioni, purché si apportino lievi ed ovvie modifiche agli enunciati, i teoremi validi per i limiti delle funzioni. Citiamo in particolare:

 

·         Teorema di unicità del limite:

Se una successione, per , tende ad un limite (finito o infinito), questo limite è unico

·         Teorema della permanenza del segno:

Se una successione , per , tende ad un limite (finito o infinito) diverso da 0,

allora esiste un indice  tale che, , il termine  mantiene lo stesso segno del limite

·         Teoremi del confronto

Se esiste un indice  tale che, , si ha , e inoltre ,

allora è anche  

… ed enunciati analoghi agli altri due teoremi del confronto dimostrati per le funzioni

·         Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone:

Se una successione  è monotona  (crescente o decrescente), in senso stretto o in senso lato,

allora esiste certamente il , e tale limite è uguale all’estremo superiore (se la successione

è crescente) o inferiore (se la successione è decrescente) dell’insieme numerico .

·         I teoremi sul limite di una somma, di un prodotto, di un quoziente …

Per inciso, date due succ. a_n e b_n, per loro “somma” si intende la succ.  di termine generale c_n=a_n+b_n.

Analogamente per la differenza, il prodotto e il quoziente.

·         I teoremi sintetizzati da “pseudo-uguaglianze” (es.  … ).

 

q       Anche per le successioni valgono le stesse “forme di indecisione” già riscontrate per le funzioni.

 

q       E’ estremamente utile il seguente teorema, che permette di estendere, in un sol colpo, alle successioni, un mucchio di risultati già acquisiti per le funzioni:   Data una successione , e presa una funzione  tale che i suoi valori quando x è intero positivo coincidano con quelli della successione, ossia: tale che si abbia , allora, se esiste il  sarà anche     OSSERVAZIONE: Può essere molto utile puntualizzare che il teorema vale  anche se l’uguaglianza                                     vale soltanto “da un certo indice in poi”. Esempio di applicazione:  Determinare il .    Si tratta di una F.I. , ma, considerata la funz.  che, per valori interi positivi di x, assume gli stessi valori della succ. data, poiché si ha , sarà pure .