LIMITI, PARTE D: SUCCESSIONI

La sequenza

 

costituisce un esempio di SUCCESSIONE.

Ecco un altro esempio di successione:

 

 

Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe trattarsi anche di oggetti di altra natura: vettori, funzioni, numeri complessi, figure geometriche...), ciascuno indicabile per mezzo di una lettera ( noi nei nostri due esempi abbiamo scelto la lettera a ) munita di un indice, il quale indice potrà assumere i suoi valori in N (insieme dei numeri naturali), oppure in un sottoinsieme infinito di N.

Ecco ora un terzo esempio di successione, i cui termini sono numeri complessi:

 

 

Ed ecco un quarto esempio. Questa volta ciascun termine della successione è una funzione:

 

 

Nel seguito ci occuperemo esclusivamente di successioni i cui termini siano numeri (si parla di “successioni numeriche”); anzi, supporremo sempre che si tratti di numeri reali (come nei primi due esempi).

Inoltre, per semplicità, considereremo esclusivamente successioni definite su N, oppure su N*.

 

 

Una successione può essere dunque interpretata come UNA FUNZIONE AVENTE COME DOMINIO L’INSIEME N DEI NUMERI NATURALI, O UN SUO SOTTOINSIEME INFINITO D: ad ogni numero naturale n dell’insieme D corrisponde uno ed un solo ben determinato “termine”     (o “elemento”) della successione,  per indicare il quale si può usare una lettera fissata dell’alfabeto, munita dell’indice n (es.  an )

 

Per visualizzare graficamente una successione, abbiamo sostanzialmente a disposizione due metodi. Ognuno presenta vantaggi e svantaggi. I due metodi alternativi sono illustrati nel seguente esempio,

con riferimento alla successione di termine generale :

Questo tipo di visualizzazione mette bene in evidenza il fatto che una successione è una funzione: a ogni numero naturale (in questo caso, non nullo) n, corrisponde uno e un solo ben determinato valore an=1/n. Il dominio della funzione è N*. La differenza rispetto alle “normali” funzioni è che in una successione non abbiamo una variabile CONTINUA x, ma una variabile DISCRETA n. Emerge anche con efficacia che, al tendere di n all’infinito, il corrispondente termine an tende a 0.

Questa visualizzazione mette bene in evidenza il fatto che i termini della successione costituiscono un insieme numerico: l’insieme . La figura mostra anche molto chiaramente che l’insieme  ammette il punto 0 come punto di accumulazione (non appartenente all’insieme).

 

·         Successioni crescenti e decrescenti

Una successione  si dice crescente (risp.: decrescente) se, per ogni  (o, eventualmente,  ) è

 (risp.:  ). 

Se al posto di <, >  scriviamo ,   otteniamo le definizioni di successione crescente (decrescente) “in senso lato”.

Ad esempio, la successione  è decrescente (in senso stretto).

·         Successioni limitate e illimitate; estremo superiore e inferiore di una successione;

eventuale massimo e minimo di una successione

Tutti questi termini vanno riferiti all’insieme numerico costituito dai termini della successione considerata.

Ad esempio, la successione  è limitata sia inferiormente

(il suo estremo inferiore è 0) che superiormente (il suo estremo superiore, che ne è anche il massimo, è 1).

Invece la successione  è limitata inferiormente, con estremo inferiore 0 che ne è anche il minimo, ma è illimitata superiormente (l’estremo superiore è  ).