INTRODUZIONE AL CONCETTO DI “LIMITE”- ESEMPI
Esempio 3
Consideriamo la funzione
dove x indica la misura in radianti di un arco.
Ad esempio, l’arco il cui angolo al centro
corrispondente è di 30° misura, in radianti, ;
e con si ha
Ancora: l’arco, il cui angolo al centro
corrispondente misura 18° (in radianti, ) ha per seno la metà del lato del decagono
regolare inscritto nella circonferenza goniometrica.
Ma dalla Geometria si conosce che il lato del
decagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale alla sezione aurea
del raggio (che, nel caso della circonferenza goniometrica, è unitario); e la
misura della sezione aurea di un segmento si ottiene moltiplicando la misura
del segmento stesso, per il fattore .
Pertanto con avremo
, da cui
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Per valori piccoli (=prossimi a 0) dell’arco x, il segmentino sen x quasi si confonde con l’archetto x: il valore di sen x è leggermente inferiore, ma molto vicino, al valore di x. Pertanto, con x molto piccolo, il valore del rapporto è molto prossimo a 1.
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Ad esempio, con x=0,001 (l’arco x è un millesimo di radiante, ossia: l’arco x, rettificato, dà’ luogo ad un segmentino che è esattamente la millesima parte del raggio), si ha
da cui
Il fatto
che la funzione assuma valori molto prossimi a 1 quando
l’arco x è molto prossimo a 0, si può esprimere attraverso la scrittura
che si legge
“il limite, per x che tende a zero, di ,
è uguale a 1”.
Osserviamo che, mentre negli esempi 1 e 2 avevamo considerato il limite di una successione,
qui abbiamo invece il limite di una funzione di variabile reale.
Se tracciamo (vedi figura sottostante) il grafico della
funzione ,
avremo che, quando x si avvicina (stiamo “viaggiando” sull’asse delle ascisse)
al valore 0, la y corrispondente si avvicina al valore 1. Osserviamo che con
x=0 la funzione
non è definita.
Ancora con riferimento alla funzione ,
possiamo rilavare, come ci suggeriscono tanto l’osservazione del grafico quanto
semplici considerazioni quantitative, che quando ci spostiamo sull’asse x
“molto a destra” (x tendente all’infinito positivo) oppure “molto a
sinistra” (x tendente all’infinito
negativo), la y corrispondente continua ad andare su e giù intorno all’ordinata
0, avvicinandosi e allontanandosi periodicamente da essa, ma con oscillazioni smorzate, la cui ampiezza diventa
piccola a piacere.
E’ allora del tutto spontaneo utilizzare le scritture
;
Poiché il tendere a 0 della funzione 
Al crescere di x in valore assoluto, abbiamo una y corrispondente che si avvicina “globalmente” a 0, ma il suo avvicinarsi a 0 non ha un carattere “monotòno”.
Osservazioni come questa sono molto importanti: quando, più avanti, tenteremo di descrivere il concetto di limite in modo generale e preciso, il nostro compito sarà tutt’altro che semplice, in quanto dovremo elaborare una definizione nella quale possano rientrare anche situazioni del tipo di quella appena considerata, in cui la y, pur presentando quella che noi “sentiamo” essere una “tendenza a limite”, non mostra un comportamento “unidirezionale”.