PSEUDO-UGUAGLIANZE E FORME DI INDECISIONE

(DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO)

Supponiamo di avere una funzione che sia a sua volta il quoziente fra due funzioni: ;

supponiamo inoltre che, al tendere di x a c

(dove c potrà essere un’ascissa finita x₀, oppure uno dei simboli  ),

·         il numeratore f(x) tenda ad un valore finito e non nullo (ad esempio, tenda a 4)

·         e il denominatore g(x) tenda a .

Come si comporterà la funzione  f(x)/g(x), quando x tende a c?

Dunque, ragioniamo. La nostra frazione è  .

Il numeratore assume valori molto vicini a 4 … …  il denominatore invece assume valori grandissimi …

Ma allora, se il denominatore è grandissimo (mentre il numeratore non lo è, perchè i suoi valori si mantengono prossimi a 4 … vorrà dire che la frazione assumerà valori piccolissimi!

Avremo dunque       (più precisamente, per ovvi motivi di segno,  )

Il tutto si potrebbe riassumere per mezzo della PSEUDO-UGUAGLIANZA     

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Supponiamo ora che   .  Quanto varrà il   ?

Si può osservare che, quando un numero vicinissimo a 4 viene diviso per un numero positivo vicinissimo a 0, il risultato della divisione è un numero positivo grandissimo. Ad esempio, dividere per 0,001 equivale a moltiplicare per 1000, dividere per 0,000001 equivale a moltiplicare per 1000000 …

Avremo quindi  .   Il tutto si può riassumere scrivendo      

IMPORTANTE:  questa scrittura  è solo un modo conciso (e, proprio per la sua concisione, efficace) di esprimere un ragionamento ben più articolato.

Dunque: noi sappiamo bene che l'operazione , presa alla lettera, come quoziente fra il numero 4 e il numero zero, è impossibile, priva di risultato, non definita, "illegal".

Ma noi, in questo contesto, NON stiamo pensando a questa operazione!!!

Scrivendo  noi vogliamo solamente affermare che, se abbiamo un rapporto fra due funzioni,

e la funzione a numeratore tende a  4, mentre la funzione a denominatore tende a 0 (sottinteso: per x che tende ad un certo valore c), allora il rapporto fra le due funzioni tende a . Insomma:  la scrittura  sostituisce l’ingombrante annotazione