PSEUDO-UGUAGLIANZE E FORME DI INDECISIONE

(DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO):

zero / zero

 

Dopo aver accennato al caso , prendiamo in esame un’altra situazione interessante: la .

Occhio! Non vogliamo qui riferirci all’ operazione 0/0, che come ben sappiamo è non definita, “illegal”, in quanto “indeterminata”. La scrittura  è qui utilizzata per indicare in modo sintetico ed efficace la situazione in cui si cerchi il , quando è .

Nella frazione  operano due forze contrastanti:

il numeratore, col suo tendere a zero, “vorrebbe” portare verso lo zero il valore della frazione;

ma nel contempo il denominatore, col proprio tendere a zero, “lavora” per far impennare la frazione verso l’infinito.

In questo “tiro alla fune”, vincerà la funzione che tende a 0 più rapidamente.

Se è f(x) a tendere più rapidamente a zero, il limite sarà nullo;

se invece è g(x) che tende a zero più rapidamente, il limite sarà infinito.

In altri casi il limite potrà essere finito e non nullo, oppure ancora non esistere.

, insomma, è una Forma di Indecisione, al pari di .

 

Come esempio, prendiamo il

 

Numeratore e denominatore tendono entrambi a zero; tuttavia, basta fare un disegno della circonferenza goniometrica per rendersi conto che, al tendere a zero dell’archetto x, la quantità 1- cos x tende a zero con rapidità molto maggiore rispetto a sen x.

Pertanto il limite in questione è infinito.

Considerazioni di segno ci portano a stabilire, più in dettaglio, che

       

 

La conclusione, da noi tratta un po’ “alla buona”, con l’intuizione geometrica, è confermata da ciò che  impareremo a partire dal capitolo successivo.

Possiamo confermare il risultato trovato anche nel modo seguente:

 

 

Va detto che, molto spesso, le Forme di Indecisione del tipo  vengono risolte attraverso una semplificazione, cui si perviene frequentemente mediante una scomposizione o una razionalizzazione.

Consideriamo ad esempio l’esercizio seguente, nel quale la scomposizione del denominatore è stata effettuata tramite la Regola di Ruffini: