PSEUDO-UGUAGLIANZE E FORME DI INDECISIONE

(DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO):

infinito / infinito

 

Supponiamo invece di avere due funzioni f(x), g(x) che, al tendere di x a x₀, tendano entrambe a infinito:

.  Quanto varrà il    ?

Riflettiamo. Noi stiamo studiando il comportamento della frazione .

Il tendere all’infinito del numeratore “vorrebbe” far impennare la frazione verso l’infinito …

ma il tendere all’infinito del denominatore, per contro, “vorrebbe” schiacciare la frazione verso lo zero!

Ci troviamo di fronte a una “forma conflittuale”, o, come generalmente si dice, a una “forma di indecisione”

Fra le due funzioni che stanno a numeratore e a denominatore, vincerà il “tiro alla fune” quella che tende all'infinito più rapidamente.

Il valore del limite dipenderà quindi dalle particolari funzioni considerate:

a volte potrà "vincere" il numeratore f, e allora il rapporto f/g  tenderà all'infinito;

altre volte potrà invece vincere il denominatore g, e in questo caso il rapporto f/g tenderà a zero;

in certi casi, poi, capita che le due funzioni f, g "trovano un equilibrio": il limite del rapporto f/g sarà allora un certo numero finito e non nullo.

Può anche accadere (situazione ben rara negli esercizi), che il limite del rapporto f/g non esista.

 

Ad esempio, chiediamoci quanto vale il  .

Al tendere di x a  , sia il numeratore che il denominatore tendono a  ;

si ha dunque una F.I. (Forma di Indecisione) del tipo .

Fra il numeratore    e il denominatore  , quale tenderà all’infinito più rapidamente?

Beh,  ha coefficienti più “robusti” … mentre  ha grado più elevato.

Ma noi dobbiamo pensare che  , quindi è il grado che finisce per caratterizzare la rapidità con cui l’espressione tende all’infinito.

Ad esempio, con x=1000, abbiamo  ma è !!!

Dunque, per via del grado maggiore, è più rapido il tendere all’infinito del denominatore:

e questo denominatore “vincente” riesce perciò a schiacciare il valore la frazione verso lo 0.

In definitiva avremo .

Per convincerci ancora di più di questo fatto, raccogliamo, sia a numeratore che a denominatore, x elevato all’esponente più alto: avremo

 

NOTA: i due termini   e  , avendo il numeratore fisso e il denominatore tendente a infinito, tendono a zero (si dice, con locuzione suggestiva, che sono termini “evanescenti”). Ma allora, dopo la semplificazione per x effettuata al passaggio precedente, il numeratore tende a 7 e il denominatore, che è il prodotto di un fattore tendente a infinito per un fattore tendente a 1, tende all’infinito. Dunque il limite è 0 (0+, per ovvi motivi di segno). Tutte queste considerazioni di carattere intuitivo verranno puntualmente legittimate dai Teoremi che saremo in grado di dimostrare quando, a partire dal capitolo successivo, avremo finalmente stabilito una definizione ben fondata di “limite”.