NUMERI COMPLESSI

 

1.  “IMPOSSIBILE”? UAH, UAH!

 

Com'è noto, la radice quadrata è l'operazione inversa rispetto all'elevamento al quadrato; vale a dire, la radice quadrata di un numero x è quel numero y il quale, elevato al quadrato, dà come risultato x (con la convenzione che, in caso di risultato “doppio”, si prende solo quello positivo:

 e NON  ).

Ora, poiché elevando un numero al quadrato si ottiene sempre risultato positivo (o, al più, nullo), ne deriva che l'estrazione di radice quadrata di un numero negativo è impossibile.

In particolare, è dunque impossibile l'operazione

 

 

D'altra parte, se provi a ripercorrere, per un istante, la tua "carriera" scolastica, ti verranno in mente diversi casi di operazioni che in un primo tempo ritenevi impossibili, e che invece poi, con l'ampliarsi delle tue conoscenze, sono risultate possibili.

 

·        Ad esempio:

quando frequentavi la classe seconda elementare, e non avevi ancora sentito parlare nè di frazioni, nè di numeri con la virgola, ma ti limitavi a lavorare esclusivamente coi numeri interi, di fronte all'operazione 23:4 (divisione, ossia operazione inversa della moltiplicazione) avresti detto:

è un'operazione impossibile, se si cerca il risultato esatto!

Infatti non esiste alcun numero intero il quale, moltiplicato per 4, dia come risultato 23.

Se la stessa operazione 23:4 ti fosse stata, invece, proposta verso la fine della classe prima media, avresti concluso:

l'operazione 23:4 dà come risultato la frazione 23/4 (o, il che è lo stesso, il numero 5,75).

Ricapitolando e schematizzando:

L'operazione 23:4 coinvolge due numeri interi, ma nell'ambito degli interi essa è priva di risultato (= impossibile).

Nell'insieme, più vasto, dei numeri razionali (di cui gli interi sono casi particolari), l'operazione diventa invece possibile ed ha come risultato 23/4 (=5,75).

 

·        Anche per un'operazione come

 

accade qualcosa di simile.

Il bambino delle scuole elementari lavora esclusivamente coi numeri assoluti ( = senza segno); egli non ha mai sentito parlare di numeri positivi e negativi.

Se, dunque, gli viene proposta l'operazione , egli dirà che è impossibile.

Quando, in terza media, lo stesso alunno avrà ampliato l'insieme dei numeri assoluti, aggiungendo ad essi i numeri negativi, e pervenendo così all'insieme più ampio dei numeri relativi, egli dirà che l'operazione è possibile e dà come risultato .

 

·        E ancora: abbiamo dimostrato che non esiste alcun numero razionale che elevato al quadrato dia come risultato 2.

Pertanto, l'operazione  è impossibile nell'ambito dei numeri razionali; diventa possibile solo uscendo da tale insieme. Se l'insieme Q dei razionali viene ampliato, con l'aggiunta degli irrazionali, così da pervenire all'insieme più vasto R ( insieme dei numeri reali), allora all'operazione  si potrà attribuire un risultato. Bisognerà però, per forza, USCIRE da Q.