3. A COSA NON SERVONO I NUMERI COMPLESSI
Il discorso fatto ti avrà certamente lasciato molto perplesso.
Ma insomma: cos' è questa storia, che di fronte ad una operazione impossibile si possono inventare nuovi numeri in modo che, nell'insieme numerico più ampio così ottenuto, l'operazione divenga possibile?
Questa procedura sa di "trucco", di "fregatura"; ci fa perdere fiducia nei matematici, che parrebbero tirare per il collo ogni questione fino a risolvere tutto e ad aver sempre ragione.
In tutta onestà, ti assicuro che le cose non stanno così.
Vorrei farti riflettere almeno sui due punti seguenti:
1) L'operazione a/0, con a numero reale non nullo, NON può essere resa possibile tramite il passaggio ad un insieme numerico più vasto di R o di C.
Infatti,
indicato per assurdo con il risultato dell'operazione (tanto per
fissare le idee) 5/0, si avrebbe
e
quindi, essendo la divisione l'operazione inversa della moltiplicazione, .
Ora, se noi consideriamo le seguenti due operazioni:
a)
b)
vediamo
che sarebbe tale da distruggere, qualora venisse
“accettato” come componente in una famiglia di numeri, la validità della
proprietà associativa della moltiplicazione, nell’ ambito di quella famiglia.
Per
questo fatto, non ha il diritto di essere considerato un
"numero".
L'operazione 5/0 è destinata a rimanere sempre e comunque IMPOSSIBILE, qualunque sia l'insieme numerico in cui si supponga di lavorare.
2) I numeri complessi sopra introdotti hanno importanza soltanto in questioni matematiche e fisiche a livello superiore. Non ha alcun senso usarli per misurare lunghezze, intervalli di tempo, pesi, ecc.
· Se ti dico: vengo a trovarti fra 3 ore (3 è un numero intero), dico una cosa sensata.
Se ti dico che verrò fra 3/4 d’ora (3/4 è un numero razionale) dico pure una cosa sensata.
Se
prometto che verrò fra ore (
è un numero irrazionale) ti farò
probabilmente sorridere, ma in linea di principio l’affermazione è sensata,
perché
e, se faccio scattare il cronometro in questo
momento (istante t=0), ad un certo punto lo scorrere del tempo porterà all’attraversamento
dell’istante
(supponendo di misurare il tempo in ore);
ragionando in minuti, si tratterà di
minuti.
Ma
se ti dico che ci vedremo fra ore, dico una cosa che è assolutamente priva
di senso.
· Consideriamo, per chiarire ancor meglio il discorso, il problema seguente:
"Determinare i cateti di un triangolo rett. di ipotenusa 2 cm., sapendo che uno dei cateti supera l'altro di 3 cm."
Si riconosce immediatamente che tale problema è impossibile (non può esistere un triangolo siffatto, perchè uno dei cateti sarebbe in ogni caso maggiore dell'ipotenusa).
E’ pur vero che se noi indichiamo i cateti con x, x+3, e per curiosità proviamo ad impostare l'equazione risolvente, le soluzioni, formalmente, le troviamo! Però ……
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… però le soluzioni così determinate sono puramente formali, “fittizie” ! Il problema è e resta IMPOSSIBILE. Non ha alcun senso utilizzare numeri complessi per misurare segmenti!
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·
Ancora: è noto dalla Fisica che se un corpo
viene lanciato verticalmente verso l'alto, e si alza da terra all'istante con velocità
(tempo misurato in secondi, velocità in
m/sec),
l'altezza
cui si trova il corpo nel generico istante è data dalla formula
dove
indica l’accelerazione di gravità sulla
superficie terrestre, ed è, all’incirca,
.
Dunque:
.
Consideriamo
il caso particolare
Problema 1) : in quale istante t il corpo si troverà a 3 metri di altezza?
Problema 2): in quale istante t il corpo si troverà a 1 km. = 1000 m. di altezza?
Le soluzioni complesse dell’equazione risolvente del problema 2) non hanno alcuna interpretazione plausibile.
Il problema 2) è impossibile, per il fatto che con una velocità iniziale così bassa non si riesce a raggiungere un'altezza così elevata!!!
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E’ molto importante sottolineare che NELL'INSIEME C NON SONO STATE DEFINITE LE RELAZIONI " >" E "<", per cui, dati due numeri complessi, nessuno di essi può dirsi "maggiore" o "minore" dell'altro. PERTANTO, SE CI SI STA OCCUPANDO DI DISUGUAGLIANZE O DISEQUAZIONI, I NUMERI COMPLESSI NON C’ENTRANO ASSOLUTAMENTE.
(Semmai, si potranno confrontare i “moduli” di due numeri complessi, dove per
“modulo” si intende, con riferimento al generico numero complesso Ma questo è un altro discorso).
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