Risoluzione di ELLISSE 2b

(Erica Allara, Elisa Lanza, Chiara Marchi, Cristina Mele, Michela Rabaglio)

Dunque il punto P della figura (che è poi il generico punto della curva che ci interessa)

ha coordinate date da:

dove valgono o i due segni + contemporaneamente, oppure i due segni – contemporaneamente.

Le equazioni

sono le equazioni parametriche del luogo.

Passiamo ora all’equazione cartesiana, risolvendo rispetto al parametro m e sostituendo.

Innanzitutto, allo scopo di isolare il parametro, conviene dividere membro a membro le due equazioni, ottenendo

Dopodiché,

Possiamo a questo punto semplificare per x² (osserviamo per l’occasione che i passaggi precedenti

erano effettuabili solo supponendo x ≠ 0; vedremo in che modo l’ascissa nulla, per ora provvisoriamente esclusa allo scopo di poter effettuare determinati passaggi algebrici, sia “recuperabile” alla fine), ottenendo:

che, divisa per a²b², fornisce

ellisse “canonica” di semiassi a, b.

Avevamo escluso dalla nostra considerazione l’ascissa 0; possiamo ora osservare che i punti di ascissa 0 ottenibili con la costruzione prescritta (semiretta condotta dall’origine … intersezioni di questa con le due circonferenza … ecc.) sono i due punti (0, ±a), che risultano anch’essi soddisfare all’equazione ottenuta.

Dunque effettivamente la

è l’equazione del luogo in questione.