COSTRUZIONE DELLA REGOLA DEGLI SDOPPIAMENTI
(a cura della QUARTA B 2002-2003)
E’ noto che un’equazione di 2° grado nelle due variabili x, y individua, nel piano cartesiano Oxy, una conica, eventualmente degenere.
Sia ora una curva, appunto, di 2° grado:
(1)
e sia
(2) .
Vogliamo far vedere che
(eccettuato il caso in cui sia degenere), l’equazione della retta
tangente alla conica
,
nel suo punto
,
si può ottenere semplicemente effettuando, nella (1), le sostituzioni seguenti:
(3)
OBIETTIVO: scrivere l’equazione
della retta tangente t alla conica di equazione
(1)
nel suo punto
(2) .
OSSERVAZIONE PRELIMINARE
Poiché il punto (2) appartiene alla curva (1), le coordinate di (2) soddisfano all’equazione (1):
vale dunque l’uguaglianza
(4)
che utilizzeremo ripetutamente nel seguito.
Effettuiamo un cambiamento di
riferimento cartesiano per traslazione, che porti l’origine in :
L’equazione di nel nuovo riferimento cartesiano sarà
Ordinando e tenendo conto che la somma algebrica dei termini sottolineati è 0
(perché :
vedi OSSERVAZIONE PRELIMINARE e uguaglianza (4) ),
si ha
da cui
(5)
La (5) è dunque la forma che l’equazione (1) assume, nel NUOVO riferimento XY.
Si tratta ora di determinare l’equazione della retta tangente alla curva (5)
nel punto che nel “vecchio” riferimento
aveva coordinate ,
e che nel nuovo riferimento è diventato l’origine (X=0,Y=0).
Col “metodo del delta” per la determinazione della retta tangente avremo:
Una soluzione dell’equazione ottenuta è X=0;
l’altra soluzione sarà anch’essa uguale a 0 (in modo che si abbiano due soluzioni coincidenti, ossia tangenza) se e solo se
La tangente t cercata ha perciò, nel NUOVO riferimento, equazione
(6)
(a patto che
sia ).
Torniamo ora al VECCHIO riferimento: l’equazione della retta tangente t diventerà
(6’)
Riducendo i termini simili e riordinando, abbiamo
Raccogliamo b:
Sostituiamo al posto di ,
la somma algebrica
e, analogamente, al posto di ,
scriviamo
:
Addizioniamo e sottraiamo 2f, riordinando:
Raccogliamo d, raccogliamo e,
mettiamo in evidenza il fattore 2:
Teniamo conto del fatto che ,
perché, come abbiamo rilevato fin dall’OSSERVAZIONE PRELIMINARE, il punto
appartiene alla curva (1):
l’equazione scritta diventerà
Dividiamo per 2 e otteniamo finalmente:
(7)
La (7) è dunque l’equazione della retta tangente cercata;
ma vediamo che la (7) si può pensare ricavabile dalla
(1)
con le sostituzioni:
(3)
come volevamo dimostrare.