UN MODO ALTERNATIVO DI DEFINIRE LE CONICHE

(a cura di Luca Vigna, IV B 2001/2002)

Fissati su di un piano un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice), se si considera il luogo dei punti del piano per i quali risulta PF/PH = e , dove H è la proiezione di P su d , mentre e è una costante positiva , si ottiene:

· · UN’ ELLISSE se si prende 0 < e < 1

· · UNA PARABOLA se si prende e = 1

· · UN’ IPERBOLE se si prende e > 1

Il valore della costante e risulta poi coincidere:

· · nel caso dell’ellisse, col rapporto

(semidistanza focale)/(semiasse maggiore)

· · nel caso dell’iperbole, col rapporto

(semidistanza focale)/(semidistanza dei vertici)

cioè risulta coincidere con quel numero che viene abitualmente chiamato “eccentricità”,

e che

· · nel caso dell’ellisse, è tanto più grande quanto più l’ellisse è “bislunga”,

· · nel caso dell’iperbole, è tanto più grande quanto più la “forbice” degli asintoti è aperta.

Per dimostrare quanto sopra enunciato, assegneremo a F le coordinate (0,k)

(supponendo k>0) e prenderemo come direttrice l’asse x, di equazione y=0.

Dunque:

A questo punto, dividiamo per la quantità ; ciò richiede di supporre ossia .

Il caso è quindi per ora “accantonato”, e verrà studiato in un secondo tempo.

A primo membro, addizioniamo e sottraiamo, per “completare il quadrato”, la quantità

Dividendo ulteriormente per il secondo membro , avremo:

Ora occorre distinguere i due casi: ; .

IL CASO

Con avremo e quindi ;

potremo perciò porre .

Inoltre, essendo , potremo pure porre .

La nostra equazione assumerà allora la forma:

e questa forma rivela trattarsi di un’ ellisse di semiassi .

Osserviamo che in un’ellisse l’ “eccentricità” è definita come il rapporto

semidistanza focale /semiasse maggiore;

ora, essendo 0<e<1, è anche

da cui , ossia a<b.

Insomma, dei due semiassi a, b, il maggiore risulta essere b.

Nell’ellisse sappiamo che si ha (c semidistanza focale)

Nel nostro caso, essendo a<b, avremo dunque

da cui

IL CASO

Con avremo e quindi ;

potremo perciò porre

Inoltre, essendo , potremo pure porre .

La nostra equazione assumerà allora la forma:

e questa forma rivela trattarsi di un’ iperbole .

Nell’iperbole si ha, come è noto, (c semidistanza focale), da cui

Nell’iperbole da noi ottenuta, la semidistanza fra i vertici è ,

per cui potremo scrivere:

IL CASO

Andiamo infine a “recuperare” il caso , che avevamo accantonato nel momento in cui avevamo deciso di dividere per la quantità .

Occorrerà ripartire quindi dal passaggio precedente a questa divisione, ossia da

Questa equazione, con , diventa:

La curva rappresentata è dunque in questo caso una parabola.