Il nostro obiettivo è di far vedere che se si prende un qualsivoglia punto P₀(x_0, y₀) dell’ellisse e si considerano le due congiungenti P₀F₁ e P₀F₂, la normale n all’ellisse in P₀ coincide con la bisettrice dell’angolo F₁P₀F_2.

Utilizzando la “regola degli sdoppiamenti”, scriviamo innanzitutto l’equazione della retta tangente all’ellisse in P₀(x_0, y₀):

Perciò, indicato con m_t il coefficiente angolare della retta tangente, avremo:

e di conseguenza, detto m_n il coefficiente angolare della normale all’ellisse in P₀, sarà

Scriviamo ora l’equazione della normale n in P₀:

Ora scriviamo le equazioni delle due rette P₀F₁ e P₀F_{2 ;}

successivamente potremo determinare l’equazione della bisettrice dell’angolo da F₁P₀F_2.

Retta F₁P₀, con F₁(-c,0) fuoco “sinistro”:

Retta P₀F₂, con F₂(c,0) fuoco “destro”:

Equazione della bisettrice dell’angolo individuato da P₀F₁ e P₀F₂:

bisettrice = { P(x, y) / d ( P, P₀F₁ ) = d ( P, P₀F₂ ) }

dove possiamo osservare che i denominatori coincidono con le distanze P₀F₁ e P₀F₂ rispettivamente.

Sciogliendo il valore assoluto avremo

e, fra le due rette bisettrici dei due angoli opposti al vertice formati dalle rette P₀F₁ e P₀F₂,

andiamo a considerare quella ottenibile utilizzando il segno -.

Inoltre, per opportunità di calcolo, cambiamo di segno entrambi i numeratori.

Dunque:

Moltiplichiamo ora tutto per e otterremo,

tenendo conto che

l’equazione

Ricordando ora che

a² - c²

potremo scrivere:

Utilizziamo la relazione e avremo:

Ma l’ultima equazione scritta

(che è, ricordiamolo ancora, l’equazione della bisettrice dell’angolo formato dalle due rette

P₀F₁ e P₀F₂)

risulta coincidere con l’equazione della normale all’ellisse in P₀ da noi determinata all’inizio!

L’asserto è perciò dimostrato.

Sonia Colombo, Andrea Novello, Luca Vigna

III B Liceo Scientifico “A. Avogadro” di Cossato

Maggio 2001