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Onda su Onda
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Come ben sai, l’equazione di un’onda armonica si può scrivere sotto la forma:
dove:
A = ampiezza (massima);
t = tempo;
T = periodo;
x = distanza del punto considerato dalla sorgente;
lunghezza d’onda.
E’ poi noto che:
La velocità v
di un’onda è una caratteristica del
mezzo di propagazione.
Frequenza = f = numero di oscillazioni complete nell’unità di tempo
Periodo =T =1/f; frequenza f = 1/T : periodo e frequenza sono reciproci l’uno dell’altra
Pulsazione = 2 pi / T = 2 pi * f; pi = “pi greco” = 3, 1415927...
lunghezza d’onda = lambda = vT = v/f; v = lambda * f; f=v/lambda
Quando due onde armoniche si sovrappongono, l’onda risultante, che chiameremo “onda somma”,
è perciò rappresentabile attraverso un’equazione della forma:
La bella esercitazione che ti propongo è la seguente:
utilizza EXCEL (o un altro foglio di calcolo) per realizzare
il modello matematico della sovrapposizione di due onde.
Il foglio di calcolo dovrebbe assumere, pressappoco, l’aspetto seguente:
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ONDA 1: |
ONDA 2: |
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velocità v = |
1 |
1 |
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frequenza f = |
2 |
2,2 |
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periodo T = |
0,5 |
0,454545 |
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pulsazione = |
12,56637061 |
13,82301 |
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ampiezza A = |
1 |
1 |
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lambda = |
0,5 |
0,454545 |
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x1 e x2 = |
1 |
1 |
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tempo t |
onda1 |
onda2 |
onda
"somma" |
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0 |
4,90059E-16 |
-0,95106 |
-0,951056516 |
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0,1 |
0,951056516 |
0,125333 |
1,07638975 |
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0,2 |
0,587785252 |
0,998027 |
1,585811981 |
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0,3 |
-0,587785252 |
0,24869 |
-0,339095365 |
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0,4 |
-0,951056516 |
-0,90483 |
-1,855883569 |
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0,5 |
2,4503E-16 |
-0,58779 |
-0,587785252 |
|
0,6 |
0,951056516 |
0,684547 |
1,635603622 |
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0,7 |
0,587785252 |
0,844328 |
1,432113178 |
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0,8 |
-0,587785252 |
-0,36812 |
-0,955909805 |
(ti consiglierei estendere i valori del tempo t fino ad un massimo di 10 secondi).
Osserva che
i parametri che l’utente potrà modificare dovranno essere soltanto quelli nelle celle alle quali abbiamo assegnato un bordo rosso, ossia:
- la velocità (che è caratteristica del particolare mezzo in cui immaginiamo che si propaghino le due onde, e che quindi dovrà necessariamente essere la stessa per entrambe),
- le due ampiezze;
- le due frequenze
- le distanze x1, x2 dalle sorgenti (che supponiamo oscillino “in fase”).
Gli altri
parametri dovranno variare automaticamente una volta fissati i precedenti:
- T = 1/f,
- pulsazione = 2 pi/T = 2 * pi * f,
- lambda = vT=v/f.
Dopo aver costruito la tabella che fornisce y1, y2, Y in funzione del tempo t,
selezionala e predisponi un grafico.
Potrai così ottenere immagini come quella che ho collocato accanto al titolo della pagina.
Sinceramente: non è bellissima?!?!!
Com’è proprio del foglio di calcolo, il grafico cambierà immediatamente non appena verrà modificato il valore di qualcuno dei parametri.
Potrai quindi giocare sui valori di A1, A2, f1, f2, x1, x2 per osservare i cambiamenti che l’onda somma subisce.
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Ecco ora uno studio matematico di
alcune situazioni particolari. Ti sei mai chiesto se le antipaticissime formule di
prostaferesi possano avere una qualche utilità? Troverai qui una risposta inequivocabile!!! |
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1) Stessa ampiezza e frequenza: studio matematico INTERFERENZA COSTRUTTIVA E DISTRUTTIVA |
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2) Stessa frequenza, ampiezze diverse: studio matematico |
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3) Stessa ampiezza, frequenze leggermente diverse: studio matematico I BATTIMENTI |
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Ma … i battimenti si
verificano soltanto quando le frequenze sono
leggermente diverse, oppure anche quando la
differenza fra le frequenze è sensibile? Se poi , insieme con una
piccola differenza Tra le frequenze, abbiamo
anche ampiezze differenti, si avranno ancora i
battimenti? E se sono molto diverse
sia le ampiezze che le frequenze? Infine, che ruolo possono
avere i termini x1, x2 nei diversi casi? |
(qualche secondo di pazienza per attendere lo scaricamento del file) |
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Occupiamoci
ora della sovrapposizione
di PIU’ onde. Potresti realizzare un documento EXCEL che ti permetta di fissare ampiezza, frequenza e sfasamento di più onde che si sovrappongono (diciamo fino a 5 o 6 onde): giocando su ampiezze, frequenze e sfasamenti potrai ottenere interessantissime figure di sovrapposizione. Anzi, sono sicuro che ti divertirai parecchio nel cercare di realizzare le onde più strane e più simpatiche. |
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Ad esempio: |
Noterai che, in questi esempi, ho fissato le frequenze delle 5 onde uguali a: 0, 5; 1; 1,5; 2; 2,5 Insomma, presa per la prima onda una data frequenza, per le onde successive ho scelto come frequenze il doppio, il triplo, ecc. della frequenza “fondamentale”. C’è un motivo ben preciso per questa mia scelta. Infatti, sperimentare la sovrapposizione di onde la cui frequenza è multipla di una data frequenza “fondamentale” è un’ottima preparazione allo studio del meraviglioso TEOREMA DI FOURIER, di cui magari approfondiremo qualche aspetto in futuro e sul quale per ora mi limito ad indicarti alcuni bei link. |
LINKS SUL TEOREMA DI FOURIER(non spaventarti, perché il livello è universitario; se vuoi, però, nessuno ti impedisce di curiosare) http://www.vislab.usyd.edu.au/CP3/Four1/node3.html http://www.sfu.ca/sonic-studio/Fourier_Theorem.html http://csunix1.lvc.edu/~snyder/1ch5.html http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/Fourier/Fourier.html http://www.enm.bris.ac.uk/anm/staff/rew/teaching/pdes2/node8.html http://www.unl.edu/tcweb/fowler/fourier/1141MSet.html |
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