STRUTTURE ALGEBRICHE
1. GENERALIZZAZIONE DEL CONCETTO DI OPERAZIONE
Quando sentiamo pronunciare la parola “operazione”, con riferimento alla matematica, ci vengono subito in mente le arcinote “quattro operazioni”: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione.
L’apprendimento delle quattro operazioni, nel nostro percorso scolastico, è stato accompagnato dal progressivo allargarsi dell’ “insieme ambiente” numerico utilizzato.
· Abbiamo imparato per prima l’addizione in N (insieme dei numeri naturali); poi, sempre in N, la moltiplicazione e la sottrazione (operazione, quest’ultima, inversa della addizione; e qui, abbiamo subito scoperto che la sottrazione non è sempre possibile in N).
· La divisione (operazione inversa della moltiplicazione), si è rivelata come un’operazione possibile solo eccezionalmente in N; essa ha comportato, in generale, il passaggio all’insieme Qa dei numeri razionali assoluti.
· Successivamente, l’introduzione dei numeri relativi (gli interi relativi innanzitutto, il cui insieme è indicato con Z, e subito dopo i razionali relativi, il cui insieme si indica con Q) ci ha consentito di rendere sempre possibile la sottrazione, anche nel caso in cui il primo termine (chiamato “minuendo”) fosse minore del secondo termine (il “sottraendo”).
·
Nel frattempo avevamo introdotto l’operazione di elevamento
a potenza, la cui operazione inversa (l’estrazione di radice) ci ha messi di
fronte ad un problema sorprendente: abbiamo infatti dimostrato che l’operazione
è impossibile in Q. A partire da questa
scoperta, nonché da alcune considerazioni intorno ai numeri decimali illimitati
non periodici, siamo stati condotti ad ampliare l’insieme Q pervenendo
all’insieme più ampio R dei numeri reali.
· Procedendo oltre, abbiamo reso possibile anche l’estrazione di radice con indice pari dei numeri reali negativi, a condizione di passare ad un insieme ancora più vasto di R: l’insieme C dei numeri complessi.
Insomma, quando si considera una “operazione”, più o meno esplicitamente si fa riferimento anche all’insieme nel quale si vanno a prendere i termini dell’operazione stessa (=gli “operandi”) e all’insieme nel quale si va a cercare il risultato.
Certamente, se accade che, per
trovare il risultato di una certa operazione ,
quando andiamo a prendere gli operandi in un dato insieme A, siamo costretti, almeno in qualche caso, ad
uscire da A, allora vuol dire che l’insieme A è in qualche modo un “ambiente”
non completamente adeguato a quella particolare operazione; nel seguito,
dunque, per elaborare la nostra sistemazione teorica, nel pensare ad una
determinata operazione, la faremo “lavorare” esclusivamente in un insieme tale
che l’operazione stessa ammetta sempre il suo risultato all’interno
dell’insieme in questione.
E, parlando di tale insieme di riferimento, lo chiameremo il “supporto” dell’operazione considerata.
· Con lo studio degli insiemi, abbiamo esteso l’uso del termine “operazione” impiegandolo anche per indicare le “operazioni insiemistiche”:
intersezione; unione; differenza insiemistica (in particolare, complementazione rispetto all’ ”insieme ambiente”).
Qual è il
“supporto” di un’operazione insiemistica, ad esempio dell’ intersezione ( )?
Si sarebbe tentati di dire: il supporto, in questo caso, è … l’insieme i cui elementi sono tutti gli insiemi!
Sennonché, la possibilità di parlare di questo ambizioso oggetto matematico (l’insieme di tutti gli insiemi) è resa problematica dalle contraddizioni logiche alle quali esso ci condurrebbe (=antinomie logiche).
Quindi, quando parleremo di un’operazione insiemistica quale ad esempio l’intersezione, prenderemo sempre un insieme fissato A, e considereremo come supporto dell’operazione l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A (= il cosiddetto “insieme delle parti di A, quello che si indica col simbolo P(A) ).
· Ancora: abbiamo usato il temine “operazione” per indicare la somma, la differenza, il prodotto o il quoziente di due funzioni; e anche quando ci siamo occupati di “composizione di due funzioni”, abbiamo parlato di “operazione”: l’operazione, appunto, di composizione.
Certamente, in questi casi, il “supporto” è un oggetto matematico complicato: è un insieme di funzioni (ad esempio, l’insieme i cui elementi sono le funzioni reali di variabile reale).
·
Anche quando ci siamo occupati di trasformazioni
geometriche, e abbiamo “composto”, ossia “applicato successivamente” due
trasformazioni, ottenendo ancora una trasformazione (ad esempio, ricorderai
che componendo due simmetrie centrali di centri O, O’, si produce sempre la
traslazione di vettore ), abbiamo a tutti gli effetti eseguito
una operazione, il cui supporto era l’insieme delle trasformazioni
geometriche piane, ossia l’insieme avente per
elementi le corrispondenze biunivoche del piano con se stesso.
Definizione di “operazione”
Sia A un insieme non vuoto. Si dice “operazione binaria interna ad A”, o anche “legge di composizione binaria interna ad A”, una legge che ad ogni coppia ordinata di elementi dell’insieme A, associa un altro elemento di A, ossia una funzione
ossia è l’insieme i cui elementi sono le coppie ordinate di elementi di A).
Scelto un simbolo anziché scrivere
|
|
Definizione di “struttura algebrica” Dicesi “struttura algebrica”
una coppia (
|
Esempi di strutture algebriche:
|
a)
|
|
b)
|
|
c)
|
|
d) se
|
|
e)
|
|
f)
|