10.  La struttura di “anello”

 

 

Definizione

Si dice “ANELLO” una struttura algebrica costituita da un supporto A nel quale siano definite DUE operazioni, che vengono di norma indicate con notazione additiva e moltiplicativa rispettivamente, per le quali valgono le proprietà sotto elencate:

 ANELLO  se e solo se:

1)      è un gruppo commutativo

2)         è associativa

3)         è distributiva rispetto a  + , ovvero  

 

Quindi, le condizioni che definiscono un anello sono in definitiva le seguenti:

 

1’ )     

1’’ )    

1’’’ )   

1IV )    

 

2)        

 

3)        

 

 

Non è detto che un anello possegga l’elemento neutro del “prodotto”:

se ciò accade, si parla di “anello dotato di unità” (quest’ultima verrà indicata col simbolo  )

A volte, per brevità, si scrive semplicemente   al posto di  e   al posto di  .

 

Esempi di anelli:

            sono anelli.

 polinomi in una variabile, a coefficienti reali  =  

  con  ordinaria somma e ordinario prodotto di polinomi, è un anello.  Infatti:

·         +  è associativa

·         +  è dotata di elemento neutro: il numero 0, visto come caso particolare di polinomio

·         Ogni elemento di  (=ogni polinomio) ha il suo “simmetrico additivo”, o “opposto”:

è il classico “polinomio opposto” del polinomio considerato: es.  

·         +  è commutativa

Da quanto sopra, risulta che  è un gruppo abeliano. Poi:

·         ּ  è associativa

·         ּ  è distributiva rispetto a +   Ad es.  

Sono quindi verificate tutte le condizioni che permettono di parlare di “anello”.

OSSERVAZIONE: in questo anello  esiste pure il neutro moltiplicativo (è il numero 1, visto come caso particolare di

  polinomio). Preso invece un polinomio, questo generalmente non ammette un simmetrico moltiplicativo.

L’insieme Mw delle “classi di resto modulo w”, con l’ “aritmetica modulare”, detta anche “aritmetica dell’orologio”, è un anello.

 

Vediamo, per meglio fissare le idee (e anche per la perfetta analogia con l’orologio) il caso w=12.

Pensiamo dunque all’insieme  

strutturato dalle due operazioni “somma sull’orologio”  e “prodotto sull’orologio .

Esempi:     

Bene! Si può  dimostrare che  è un anello, con neutro additivo 0, neutro moltiplicativo 1.

OSSERVAZIONE: In questo anello NON vale la “legge di annullamento del prodotto”: ad esempio,  

  Quindi il “prodotto” dell’aritmetica modulare può dare 0 (neutro additivo) anche se nessuno dei 

                              fattori del “prodotto” è 0.

 

 

Teorema

Lo “zero”, cioè il neutro additivo, di un anello , risulta elemento assorbente per il prodotto, ossia:

 

 

Dimostrazione

Sia  . Allora:

             

 

            NOTA 1    (  neutro additivo);   NOTA 2    proprietà distributiva

Consideriamo ora l’uguaglianza ottenuta:

             

In questa uguaglianza addizioneremo sia al primo che al secondo membro uno stesso elemento del supporto, e precisamente il simmetrico additivo (=opposto) del risultato del prodotto . Dunque:

             

             

             

             

Se poi, in modo analogo, si prova che è pure  (ciò non è conseguenza della parte precedente, perché non è detto che l’operazione sia commutativa), la dimostrazione è completata.

 

Teorema

In un anello dotato di unità (ricordiamo che, in questo contesto, per “unità” si intende il neutro moltiplicativo)

Il neutro additivo  e il neutro moltiplicativo  non possono coincidere, a meno che il supporto si riduca ad un solo elemento.

Dimostrazione

 

NOTA 1:   è neutro moltiplicativo ;  NOTA 2 : ipotesi ;   NOTA 3:  teorema precedente

 

Ricapitoliamo: se , ogni elemento  del supporto coincide con  (e con  ), quindi il supporto ha un solo elemento, c.v.d.