3. I  TEOREMI DI LAGRANGE (O “DEL VALOR MEDIO”) E DI CAUCHY

 

TEOREMA DI LAGRANGE O “DEL VALOR MEDIO”   Ipotesi   -  f continua su [a, b] -  f derivabile    per lo meno su (a, b)   Tesi   Esiste almeno un punto c in (a, b) tale che

 

Giustificazione con l’intuizione geometrica

 

Si capisce che, se f verifica le ipotesi del teorema, deve per forza esistere un punto P sul grafico nel quale la tangente t alla curva sia parallela alla secante passante per i punti A(a, f(a)) e B(b, f(b)) .

Detta c l’ascissa di P, la tangente t ha coeff. ang. 

 

e la secante AB ha coeff. ang. 

.

Ma essendo t ed AB parallele, tali due coefficienti angolari saranno uguali.

 

Dimostrazione rigorosa del teorema di Lagrange

 

Si effettua riconducendosi al teorema di Rolle.

A tale scopo, si costruisce la funzione ausiliaria

F(x) = f(x) - kx

con k scelto in modo tale che a tale funzione F si possa poi applicare Rolle.

Dovrà verificarsi la condizione F(a) = F(b) e quindi dovrà essere

f(a)  ka = f(b)  kb

da cui

 

Applichiamo dunque Rolle alla funzione

 

ne deduciamo l’esistenza di un’ascissa c, strettamente compresa fra a e b, per la quale

 

Ma è

 

quindi avremo, per questa ascissa c,

 ossia , come volevasi dimostrare.