Esercizi sul Teorema di Lagrange (risposte alla fine):

 

1)         E’ applicabile Lagrange alla funzione  su ?

2)         Inventa una funzione+intervallo per cui Lagrange non sia applicabile.

3)         Applica Lagrange alla funzione   sull’intervallo  , determinando l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza.

4)         Applica Lagrange alla funzione   sull’intervallo  , determinando l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza.

5)         Applica Lagrange alla funzione    sull’intervallo  , determinando l’ascissa di cui il teorema assicura l’esistenza  .

6) a)       Applica Lagrange alla funzione   sull’intervallo , determinando l’ascissa c. b)       Indica con A, B i punti del grafico della funzione, di ascisse 1 e 3 rispettivamente. Dovresti ora essere in grado di stabilire qual è il punto N dell’arco della curva, di estremi A e B, che ha dalla retta AB la distanza massima, e di calcolare quanto vale tale distanza massima.

 

Risposte:

1)         Sì: la funzione è continua sull’intervallo chiuso [0;4] e derivabile su tutto l’intervallo aperto (0;4).

E’ pur vero che la funzione non è derivabile in x=0, perché in tale ascissa la derivata diventa infinita, ma si tratta di un estremo dell’intervallo, non di un suo punto interno.

 

2)         Qui ci si può sbizzarrire… basta che la funzione considerata

a)       non sia definita su tutto l’intervallo: es. y=1/x su un intervallo contenente l’ascissa 0, come [-1;1]

b)      oppure sia definita su tutto l’intervallo ma abbia in esso una discontinuità di specie qualsiasi:

·          potrai servirti di una funzione definita “a tratti”, o “per casi”, come ad  esempio

 

·          potrai scomodare funzioni come  int(x)  (parte intera di x)  oppure  m(x)  (mantissa di x)

·          per non parlare di discontinuità più estese e “drammatiche” (funzione di Dirichlet e affini)

·          …

c)       oppure ancora abbia uno o più punti di non derivabilità.

·          Tipiche a tale proposito sono le funz. col simbolo di val. assoluto, che presentano di norma punti angolosi:

ad esempio,    su di un qualsiasi intervallo chiuso contenente l’ascissa 1, come  [0; 2]

·          Puoi anche considerare situazioni di “derivata infinita”,

come  su di un qualsivoglia intervallo chiuso contenente l’ascissa 0, come [-1; 1]

·          La funzione   è continua ovunque ma non è derivabile per x=0

·          Puoi inventare una funzione definita “a tratti”,  in modo che sia continua su tutto un intervallo ma presenti un punto di non derivabilità in corrispondenza dell’ ascissa in cui cambia l’espressione analitica: es.

 

·          Se vuoi fare un po’ di “scena”, potresti citare la funzione di Weierstrass “continuous but nowhere differentiable” di cui abbiamo parlato all’inizio del capitolo

·          …

3)                                       4)                                   

5)                                   6)