• Esempio 2

La funzione

è definita e continua su tutto R. Essa ha per derivata

ma questa derivata, contrariamente alla funzione, non è definita in x₀=0.

Se noi andiamo a calcolare i due limiti di , al tendere di x a zero da sinistra e, rispettivamente, da destra, troveremo:

Applicando il Criterio di Derivabilità, possiamo allora dire che :

cioè che, se si andasse a scrivere il rapporto incrementale in x₀=0 e si facesse poi tendere a zero l’incremento, si troverebbe come limite sinistro del rapporto incrementale  e come limite destro .

Verifichiamo questo fatto operando direttamente sul rapporto incrementale:

da cui, appunto,

ovvero:

D’altronde, dopo aver constatato che ,  cosa avremmo potuto dedurre, intuitivamente, riguardo al grafico della funzione?

Dunque … al tendere di x a zero da sinistra, le rette tangenti alla curva  assumono inclinazioni in salita sempre più ripida … mentre al tendere di x a zero da destra, le tangenti presentano inclinazioni in discesa sempre più ripida… ma allora il grafico, tenuto conto anche della continuità in x₀=0, non può essere altro che il seguente!

E cosa ci dice ora il disegno riguardo alla pendenza IN x₀?

Evidentemente, ci dice che la curva confluisce (da sinistra) nel punto (x₀, g(x₀)), in salita verticale

(= in salita infinita), ed esce (verso destra) dallo stesso punto in discesa verticale (= in discesa infinita).

Insomma, dalla conoscenza del comportamento della pendenza della curva IN PROSSIMITA’ DI x₀

(e tenendo presente anche il fatto che la funzione, come sappiamo, è continua in x₀),

era intuitivo che si potesse dedurre la pendenza della curva IN x₀.

Il carattere intuitivo di previsioni di questo tipo induce parecchi testi a ignorare completamente il Criterio di Derivabilità, facendo passare per “ovvie” le conclusioni che da esso dipendono … 

Secondo il mio parere, per l'insegnante questa rinuncia è spesso motivata dal tempo - sempre, ahimè, scarsissimo - a disposizione per le spiegazioni, ma da parte di un libro di testo l'omissione non è altrettanto giustificabile.

• Esempio 3 (controesempio: qui il Criterio di derivabilità non sarà applicabile)

Consideriamo la funzione

e chiediamoci se è derivabile nell’origine.

La funzione è continua nell’origine perché, come facilmente si dimostra,  .

Fuori dall’origine, la derivata esiste e vale

Ora, se esistesse il

,

saremmo nelle condizioni di applicare il Criterio di derivabilità.

Sennonché, tale limite non esiste!

Infatti, dei due addendi  e ,

il primo tende a zero, ma il secondo oscilla fra  e  in qualsiasi intorno di x=0).

Pertanto il Criterio di derivabilità non è applicabile.

Per rispondere al quesito che ci eravamo posti dovremo per forza ricorrere al rapporto incrementale:

Poiché tale rapporto incrementale, al tendere di x a x₀=0, tende a zero, potremo in definitiva affermare che la derivata nell’origine esiste ed è nulla.

Ecco il grafico della funzione:

Essendo

si ha

per cui il grafico della

y = f(x) si mantiene compreso fra i grafici

delle due parabole

.

Ciò permette di comprendere molto bene

il motivo per cui

la derivata nell’origine esiste ed è nulla.