5.  IL “CRITERIO SUFFICIENTE DI DERIVABILITA’ ”

 

Supponiamo di sapere che una certa funzione f è derivabile su tutto un intorno  di un’ascissa x₀, privato di x₀

 (voglio dire: IN x₀ noi non sappiamo ancora se la funzione sia o non sia derivabile; però all’immediata sinistra e all’immediata destra     

  di x₀  certamente lo è).

Supponiamo inoltre che la funzione f sia continua in x₀ (occhio! quest’ipotesi è indispensabile!).

Bene.

Se adesso esiste il  

allora  esisterà pure  e sarà uguale a L, 

ossia si avrà pure    (se si preferisce,  )

ü        Il teorema vale sia se L è un valore finito, sia se L è uguale a  o   ;

in quest'ultimo caso, la tesi è che la f ha in x₀ "derivata infinita", cioè che il limite del rapporto incrementale in x₀, quando l'incremento tende a 0,  è   o  .

 

Questo importante teorema viene chiamato "Criterio sufficiente di derivabilità", o, più sbrigativamente,  “Criterio di derivabilità”.

Schematizziamone l’enunciato:

 

Criterio sufficiente di derivabilità   Ipotesi f derivabile su tutto   f continua in x0 esiste il    (L finito o infinito) Tesi Esiste il   ,  ossia esiste

 

Osservazioni:

 

a)       Quando il limite del rapporto incrementale è infinito, si dice, indifferentemente, che

a)       "la funzione non è derivabile in quel punto"     e che      b) “la funzione ha derivata infinita in quel punto”

La contraddizione, in termini linguistici, è evidente e molto fastidiosa, ma è entrata nell'uso (non senza qualche buona ragione) per cui ci rassegneremo ad accettarla.

 

b)       Il teorema è molto interessante. A partire da certe ipotesi sul comportamento della funzione e della sua derivata IN UN INTORNO DI x₀, consente di dedurre l'esistenza della derivata (=limite del rapporto incrementale) IN x_0.

 

c)       Il teorema vale anche se ci si limita a considerare solo un intorno sinistro (o solo un intorno destro) di x₀.

La tesi riguarda in questo caso una derivata UNILATERALE.

 

Dimostrazione:

 

Prendiamo un’ascissa x prossima a x₀ (contenuta nell’intorno di x₀ menzionato dall’ipotesi) e consideriamo l’intervallo chiuso di estremi x₀ e x (si tratterà di [x₀,x] oppure di [x, x₀] a seconda che x si trovi a destra o a sinistra di x₀).

Poiché l’ipotesi ci assicura che la f è continua in x₀ e derivabile in tutti i punti compresi fra x₀ (escluso) e x (incluso), all’intervallo in questione sarà lecito applicare il teorema di Lagrange.

Questo stabilisce l’esistenza di un punto c_x, compreso strettamente fra x₀ e x, per il quale si ha

(1)   

Ma l’ipotesi afferma anche che esiste il .

Essendo c_x compreso fra x₀ e x, sarà allora anche   e quindi, per la (1),  .

La tesi è così dimostrata.

 

Esempio 1   Consideriamo la funzione   Si tratta, in pratica, della funzione , della quale si sa (vedi il capitolo su De l’Hospital) che , “prolungata per continuità” nell’origine.   Il grafico di questa funzione “nasce” dunque dall’origine, ma … con quale pendenza si proietta fuori dall’origine?
… così? … (fig. 1)	… o forse così …?? (fig. 2)	…. o, chissà, magari così !?! …                       (fig. 3)
Per rispondere a questa domanda, noi dovremmo calcolare la derivata f ’(0) (ammesso che esista). Il guaio è che, data la particolare definiz. “per casi”, non possiamo effettuare il calcolo di questa derivata applicando una formula, ma siamo costretti a svolgerlo scrivendo il rapporto incrementale in x0=0:   e facendo poi tendere x a x0=0 (precisamente, a 0+ ). Si vede immediatamente che il limite del rapporto incrementale considerato è : perciò in definitiva possiamo dire che   e abbiamo così stabilito che f(x) si affaccia fuori dall’origine con “discesa infinita” (come in figura 3, quindi!)   A questa conclusione, però, avremmo potuto anche pervenire in un modo diverso e più comodo, utilizzando il “Criterio di derivabilità”. Fin dall’inizio noi sapevamo che la funzione f(x) (continua nell’origine) era derivabile nei punti a destra dell’origine. Tale derivata valeva   Facciamo tendere ora x a zero (precisamente, a 0+): avremo   il che ci assicura, per il Criterio di derivabilità appunto, che    ( più precisamente:  )   In questo modo, c’est plus facile, o meglio: è più comodo e veloce.   E’ di norma più comodo stabilire il valore della derivata in un punto x0 calcolando f ’ (x) fuori da x0 e poi facendo tendere x a x0, piuttosto che attraverso la costruzione diretta del rapporto incrementale in x0. Diciamo dunque GRAZIE  - quando è applicabile - al nostro bel Criterio di derivabilità!