Teorema Fondamentale

Se f è una funzione CONTINUA su di un INTERVALLO I, allora anche f(I) è un INTERVALLO.

NOTA.

·         Ricordiamo che col simbolo f(I) si indica “l’insieme delle immagini dei punti di I”,

“l’insieme dei valori assunti dalla funzione f(x) quando x varia in I”.

·         L’insieme f(I) viene anche chiamato  “l’immagine di I attraverso la f”

o anche “il codominio di f” (se si intende di assumere I come “dominio” per f ).

Teoremi

Se y=f(x) è una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato [a,b], allora:

(1)       Il codominio di f  è un intervallo chiuso e limitato;

(2)       la funzione f ammette massimo e minimo assoluto in [a,b] (Teor. di Weierstrass);

(3)       la funzione f assume, almeno una volta, ogni valore compreso fra il suo minimo e il

suo massimo (teorema di Darboux);

(4)       se f(a) e f(b) sono discordi, allora f si annulla almeno una volta in (a, b)

(teorema dell'esistenza degli zeri delle funzioni continue)

Si potrebbe affermare che tutti questi teoremi sono "geometricamente evidenti".

Pensiamo ad esempio al teorema (2):

… Supponiamo di voler disegnare, sull’intervallo [a,b] della figura qui a fianco, una funzione f(x) che sia continua su tutto l’intervallo chiuso e limitato [a,b].

La nozione intuitiva di continuità su di un intervallo fa pensare ad una curva che possa essere tracciata “senza mai staccare la matita dal foglio” … quindi dovremo partire con la punta della matita appoggiata su (a, f(a)) e muovere la matita senza mai alzarne la punta fino ad approdare in (b, f(b)) … ora, si capisce che in questo nostro “viaggio” saremo obbligati a toccare un massimo assoluto da cui ridiscendere, e un minimo assoluto dal quale risalire … 

… Tuttavia, giustificazioni "geometrico-intuitive" di questo tipo non sono ritenute sufficientemente rigorose, per diversi motivi:

• l'esistenza di funzioni stranissime ci mostra che, in Analisi, l'intuizione a volte può ingannare.

Basti pensare che Weierstrass (Osterfeld 1815 - Berlino 1897) diede per primo (1871) un esempio di funzione continua su TUTTO un intervallo, ma non derivabile in NESSUN punto di quell'intervallo!!! Diciamo la verità, chi mai avrebbe scommesso sull’esistenza di una funzione siffatta?!?

• D’altronde, la possibilità di costruire funzioni come quella di Weierstrass appena citata, ma anche soltanto il pensare a una funzione come la “cugina di Dirichlet”

stramba e tutta “disgregata” ma tuttavia dotata della proprietà di continuità in x=0, ci fanno dubitare dell’idea che la continuità di una funzione su di un intervallo possa essere sempre interpretata come “la possibilità di tracciamento del grafico senza mai staccare la matita dal foglio”

(ammesso e non concesso che questa idea legata all’esperienza concreta sia in qualche modo “matematizzabile”, cioè traducibile in relazioni non equivoche fra entità matematiche astratte).

·         E’ atteggiamento caratterizzante della matematica l’organizzare ciascun tema oggetto di studio secondo una struttura “ipotetico-deduttiva” (basti pensare alla geometria euclidea …)

Insomma, si sceglie un sistema di proposizioni “di base” (=gli “assiomi”) e, a partire da questi, per via puramente logica, si ricavano altre proposizioni “dimostrate” (= i “teoremi”).

Se una proposizione che si sospetta fortemente esser vera non è stata dimostrata come teorema,

ü       o la si tiene “congelata” come “congettura” (proposizione “plausibile”, non smentita, ma comunque ancora in attesa di una dimostrazione),

ü       oppure si decide di aggiungerla esplicitamente alla famiglia degli assiomi.

• Ancora: il dimostrare questioni numeriche restando in ambito puramente numerico (quindi, evitando di coinvolgere la geometria), permette di dare piena autonomia alla costruzione teorica dell' Aritmetica-Algebra-Analisi (in effetti, il completo affrancamento dell'Analisi dalla Geometria è considerata una delle maggiori conquiste intellettuali della matematica del Diciannovesimo secolo)

Insisto: con ciò, non voglio dire che in Analisi si debba rinunciare all'intuizione geometrica, tutt'altro!

Questa, anzi, è utilissima, insostituibile!!!

Come scrisse August De Morgan (India 1806, Londra 1871):

“The moving power of mathematical invention in not reasoning but imagination”.

Voglio solo sottolineare che la validità di quegli enunciati, che sono stati suggeriti da una visione geometrica, deve poi essere stabilita in via definitiva con catene deduttive fondate su basi puramente razionali.