2.      IL TEOREMA DI ROLLE

 

TEOREMA DI ROLLE Ipotesi   f continua su [a, b] f derivabile per lo meno su (a, b) f(a) = f(b)   Tesi   Esiste almeno un punto c in (a, b) tale che

 

Giustificazione con l’intuizione geometrica

 

La curva grafico della funzione, partendo dal punto A(a,f(a)), si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto B(b,f(b)).

Ma A e B hanno la stessa ordinata (infatti per ipotesi è f(a)=f(b)); quindi, se il grafico parte da A  in salita (discesa), per poter giungere a B dovrà prima o poi ridiscendere (risalire) e nel cambiare la “direzione di marcia” sarà obbligato a toccare un massimo (minimo), nel quale la retta tangente sarà orizzontale e quindi la derivata sarà nulla.

 

Dimostrazione rigorosa:

 

Sia f continua su [a, b], derivabile per lo meno su (a, b), e tale che f(a) = f(b).

Per il teorema di Weierstrass, f ammette, su [a, b], minimo assoluto m e massimo assoluto M.

ü        Se è m = M, allora f è costante su tutto [a, b], quindi  f ' (x) = 0 per ogni x di [a, b] e la tesi è vera.

ü        Se è m ≠ M, allora almeno uno dei due valori m, M deve essere distinto dal valore f(a) = f(b);

quindi, dovrà essere assunto dalla f in corrispondenza di un'ascissa c diversa sia da a che da b:

(a<c<b).

Dico ora che  f ' (c) = 0.

Supponiamo, per meglio fissare le idee, che c sia il punto di MINIMO assoluto:

f(c)=m, ossia:   (del tutto analoga sarebbe la dimostrazione nel caso f(c)=M)

·          Se costruiamo il rapporto incrementale DESTRO in c, avremo:

 

perché, su tutto D, è  quindi  ,

e inoltre, essendo x alla destra di c, sarà pure .

 

·          Se invece costruiamo il rapporto incrementale SINISTRO in c, avremo:

 

perché, su tutto D, è  quindi  ,

ma, essendo x alla sinistra di c, sarà .

 

Ma l’ipotesi ci dice che f è derivabile su tutto (a, b) quindi anche in c;

pertanto i due rapporti incrementali destro e sinistro in c dovranno tendere allo stesso limite

( la derivata f ’ (c) ) quando si fa tendere x a c.

 

Essendo, come abbiamo visto,

     quando x>c;             quando x<c,

dovrà essere

;                           

Ora, tali due limiti, in considerazione dei loro segni, possono essere uguali soltanto se entrambi nulli.

Con ciò resta provato che f ‘ (c) = 0, cioè la tesi.

Esercizi sul teorema di Rolle (risposte alla fine):

 

1) Considera la funzione    sull’intervallo [0,1]. a)       Dopo aver controllato che esistono le condizioni per applicare il teorema di Rolle, determina l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza. b)       Traccia infine il grafico probabile della funzione (su tutto il suo dominio R), tenendo anche conto del punto in cui hai stabilito che la derivata si annulla (in questo punto la retta tangente dovrà essere orizzontale!).

2) Considera la funzione  sull’intervallo [-1; 1] a)       Dopo aver controllato che esistono (appena appena!) le condizioni per applicare il teorema di Rolle, determina l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza. b)       Grafico probabile.

3) Considera la funzione     sull’intervallo   a)       Dopo aver controllato che sussistono le condizioni per applicare il teorema di Rolle, determina l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza. b)       Grafico probabile della funzione (su tutto il suo dominio R).

4) Spiega perché Rolle non è applicabile alla funzione   su

5) a)       Determina il valore del parametro k in modo che alla funzione   sia applicabile Rolle su   b)       Determina poi l’ascissa c in  tale che    c)       Spiega perché non avrebbe avuto senso, per nessun valore di k, applicare Rolle su [0;2] d)       Grafico probabile (su tutto il dominio).

6) a)       Applica Rolle alla funzione  , su   verificando che di punti c /  ce n’è più d’uno. b)       Traccia il grafico probabile della funzione, costruendolo per differenza di ordinate.

7) Considera la funzione   a)       Determina il secondo estremo di un intervallo, il cui primo estremo sia 1, sul quale sia possibile applicare alla f(x) il teorema di Rolle. b)       Successivamente, determina in tale intervallo l’ascissa c in cui  . c)       Grafico probabile della funzione (su tutto il dominio).

 

Risposte:

 

1) c = 2/3              

2) c = 0; dico che le condizioni per applicare Rolle esistono “appena appena” perché questa funzione non è derivabile

agli estremi dell’intervallo.              

3) Ben 3  valori di c: -1, 0, +1           

4) Rolle non è applicabile in questo caso, perché la funzione non è derivabile su tutto (-1,1):

infatti ha derivata sinistra e destra distinte (“punto angoloso”) in x=0

5) k=6/11;  c= ; perché la funzione non è definita su tutto [0;2]

6)                

7) L’altro estremo è 4; c=9/4