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Dimostrazione del Teorema di De l’Hospital   

L’ipotesi vincola il comportamento delle due funzioni f(x), g(x) IN PROSSIMITA’ di c:

·          f(x) e g(x) definite e derivabili su tutto un intorno I_c di c, ad eccezione al più del punto c;

·          ;

·           su tutto  

ma non richiede alcunché riguardo al comportamento di f(x) e g(x) IN c, dove le due funz. potrebbero addirittura non essere definite.

Ciò finirebbe per complicarci alquanto la vita, ma (IDEA!) dato che la tesi riguarda ciò che accade quando x viene FATTO TENDERE a c (e NON ciò che avviene con x UGUALE A c), potremmo superare l’ostacolo andando a considerare, al posto delle funzioni date  f(x), g(x), i loro “prolungamenti per continuità in c”, ossia le due funzioni ausiliarie

;

Nel caso in cui f(x) sia continua in c, cioè si abbia non solo  ma anche f(c)=0, la F coincide perfettamente con f ; diciamo che questo è il caso in cui l’introduzione delle F sarebbe inutile;

se invece f(x) è discontinua in c (perché non è definita in c, oppure perché f(c) è diverso da 0), la F differisce dalla f esclusivamente per il comportamento in c, ma è del tutto identica alla f fuori dall’ascissa c; in compenso, la F è più “brava” della f perché, oltre a risultare  è pure  .

E le stesse cose si possono affermare riguardo alla G nei confronti della g.

Delle due funzioni F e G possiamo dunque dire che:

·          F(x) e G(x) sono definite e continue su tutto I_c e derivabili su tutto ;

·           

·           su tutto .

E se ora riusciremo a dimostrare la tesi con riferimento alla due funzioni “figlie” F, G, vale a dire:

se riusciremo a far vedere che, qualora esista il  , deve esistere anche il   e coincidere col precedente,

avremo provato pure la tesi originaria, quella sulle funzioni “madri” f, g, in quanto le “figlie” F e G coincidono perfettamente, al di fuori dell’ascissa c, con le “madri” f e g.

Consideriamo dunque il rapporto  

Possiamo scrivere la catena  

Ora, il teorema di Cauchy, applicato all’intervallo chiuso di estremi c, x

(intervallo che sarà [c,x] oppure [x,c] a seconda che x si trovi a destra o a sinistra di c)

ci assicura che internamente a questo intervallo esiste un’ascissa  c_x per la quale

(controlla tu con attenzione: le condizioni di applicabilità di Cauchy sono assicurate dall’ipotesi …).

Ricapitolando, per questa ascissa  c_x , compresa fra c e x,  si ha  

Ma a questo punto siamo a posto !!!

Sì, perché se supponiamo che esista il  ,  essendo  c_x compreso fra c e x dovrà esistere pure il  

ed essere uguale al precedente, ossia dovrà valere l’uguaglianza ,

da cui  ,  C.V.D.