L

De l’Hospital mostra quanto è “forte” la funzione esponenziale

e quanto è “debole” la funzione logaritmica

Dimostra, con de l’Hospital, che

a)      

b)      

c)      

Ciò è IMPORTANTISSIMO e può essere condensato nello “slogan”:

la funzione esponenziale tende all’infinito PIU’ RAPIDAMENTE di qualsiasi funzione algebrica, comunque alto sia l’esponente di quest’ultima.

Se anche prendiamo n=1000, o ancora più alto, non riusciremo mai a costruire una funzione algebrica che riesca a competere con l’esponenziale, nella rapidità del tendere a infinito!!!

“L’esponenziale vince” contro la funzione algebrica!!!!

Dimostra, con De l’Hospital, che

Ciò è IMPORTANTISSIMO e può essere condensato nello “slogan”:

la funzione logaritmica tende all’infinito PIU’ LENTAMENTE di qualsiasi funzione algebrica.

… Non importa se cerchiamo di “indebolire” la funzione algebrica assegnandole esponenti piccoli,

come 1/3, 1/10, 1/1000 … il limite precedente, qualunque sia l’esponente , vale sempre zero!

“Il logaritmo perde” contro la funzione algebrica!!!

Dimostra, trasformando opportunamente il prodotto in quoziente per porti nelle condizioni di applicare De l’Hospital, che

NOTA: ti suggerisco di effettuare innanzitutto la sostituzione

Questo conferma la “maggior forza” della funzione esponenziale rispetto alla funzione algebrica, anche in un contesto diverso dal precedente.

Qui, nel “tira-e-molla” fra due “forze” contrastanti (il tendere a zero della funzione esponenziale, che “vorrebbe” far convergere il prodotto a zero, e il tendere all’infinito della funzione algebrica, che “vorrebbe” far divergere il prodotto all’infinito, la funzione esponenziale è talmente rapida nel suo tendere a zero, che non si lascia “sconfiggere” da nessuna funzione algebrica tendente all’infinito, comunque grande scegliamo l’esponente di quest’ultima nel tentativo di “irrobustirla”.

“L’ esponenziale vince” contro la funzione algebrica!!!

M     

Slogan CONTRO precisione;  b) riscopriamo i limiti notevoli

E’ molto utile ricordare gli slogan

“l’esponenziale vince” e “il logaritmo perde” (nel “conflitto” con ogni funzione algebrica),

“l’esponenziale è una funzione forte” (nel suo tendere all’infinito o nel suo tendere a zero),

“il logaritmo è una funzione debole” (nel suo tendere all’infinito positivo o negativo),

ma GLI SLOGAN DEVONO PIU’ CHE ALTRO COSTITUIRE RICHIAMI DI CARATTERE GENERALE, DA INSERIRE POI IN UN CONTESTO PRECISO.

In che senso “l’esponenziale vince”? … Nel senso PRECISO espresso dalle relazioni seguenti:

·          

 con la sua conseguenza: ;

·        

 con la sua generalizzazione:

Sarebbe sbagliatissimo, ad esempio, di fronte al limite   (forma [0/0])

affermare che, siccome l’esponenziale vince sulla funzione algebrica, tale limite è zero (in effetti, sappiamo invece che vale 1). NON E’ IN QUESTO CONTESTO che l’esponenziale “vince” sulla funzione algebrica!!!

E discorso analogo vale per il logaritmo.

Riporto qui di seguito una ricapitolazione di alcuni limiti importanti, ma in ogni caso tutti i risultati, in caso di dubbio, potranno essere facilmente ricostruiti … con De l’Hospital, appunto!