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Un’interpretazione geometrica del teorema di De l’Hospital

La figura qui sotto riportata vuole suggerire un’interpretazione geometrica molto suggestiva del Teorema di De l’Hospital.

Proponiamoci di calcolare il limite seguente:

Tale limite si presenta sotto la forma di indecisione [0/0] :

c’è dunque un “conflitto” fra la funzione a denominatore, che col suo tendere a zero “vorrebbe” far impennare la frazione verso l’infinito, e la funzione a numeratore, che col suo tendere a zero “vorrebbe” schiacciare la frazione verso lo zero.

Il valore del limite dipenderà dalla RAPIDITA’ con cui tendono a zero, rispettivamente, numeratore f(x) e denominatore g(x).

Ma la rapidità nel tendere a zero di f(x) e, rispettivamente, g(x), è legata alla PENDENZA con cui il grafico di ciascuna funzione confluisce verso lo zero!

E tale pendenza non è altro che la pendenza della retta tangente in K(1,0) a ciascuna curva (legata, a sua volta, al COEFFICIENTE ANGOLARE della tangente ossia  alla DERIVATA della funzione!)

Cerchiamo di mettere meglio a fuoco questa idea, l’idea cioè di chiamare in causa le rette tangenti alle due curve in K.

Prendiamo un’ascissa x (l’ascissa del punto H in figura) prossima a 1, e andiamo a considerare il rapporto delle rispettive ordinate f(x) e g(x) (rapporto di cui ci interessa il limite per x che tende a 1).

Poiché siamo in prossimità del punto K, i grafici delle due curve “si confondono con” le rispettive rette tangenti in K.

Il valore del rapporto f(x)/g(x) è quindi ottimamente approssimato dal valore del rapporto fra le due ordinate, che corrispondono a x NON sulle curve y = x²+2x-3  e y = ln x, bensì sulle rispettive rette tangenti in K. Avremo allora

La catena appena scritta costituisce un abbozzo di giustificazione (non è sufficientemente preciso né sufficientemente generale per poter essere considerato una “dimostrazione”) del Teorema di De l’Hospital