11. RICERCA DEI FLESSI (A TANGENTE NON VERTICALE)

COL METODO DELLE DERIVATE SUCCESSIVE

 

q                   Teorema 10. Sia c un punto in cui ; si calcolino le derivate successive ..., fino a trovare la prima di queste derivate che sia diversa da 0:  . A questo punto: ·          se n è dispari, allora c è un punto di flesso, ascendente se  ,  discend. se  ; ·          se n è pari, allora c non è un punto di flesso, bensì: ü                   è un punto in cui f volge la concavità verso l'alto   se        ü                   è un punto in cui f volge la concavità verso il basso se

 

Dimostrazione.

Si effettua come la dimostrazione del teorema 7, deducendo, da ciò che si sa sulla derivata di ordine più alto, informazioni sulla derivata di ordine immediatamente inferiore, e così via.

Nella dimostrazione del teorema 7 occorreva giungere a deduzioni riguardanti la derivata prima, per poi trarre da queste la conclusione riguardante la funzione; qui invece "salteremo" direttamente dalla derivata seconda alla funzione, perchè ci interesseranno questioni di concavità e convessità, e non più di andamento crescente o decrescente.

 

Effettueremo la dimostrazione in due casi particolari, dopodiché sarà chiara la possibilità di adattare lo stesso tipo di ragionamento a qualsiasi altro caso particolare, e, volendo, di formulare una dimostrazione di carattere generale.

 

Supponiamo f '' (c) = f ''' (c) = f I V(c) = 0 ,  f V(c) < 0. Dunque,  f V(c) < 0. Quindi la fI V(x) è decrescente in c. Ma f I V(c) = 0. Quindi f I V(x) è pos. a sinistra di c, neg. a destra di c. Quindi f ''' (x) è crescente a sinistra di c e decrescente a destra di c. Ma f ''' (c) = 0. Quindi f '''(x) è neg. sia a sinistra che a destra di c. Quindi f '' (x) è decrescente sia a sinistra che a destra di c. Ma f '' (c)=0. Quindi f '' (x) è pos. a sinistra di c, neg. a destra di c. Pertanto la f cambia concavità nel passaggio dalla sinistra alla destra dell'ascissa c: c è ascissa di flesso (per il prec. teorema 9). Si tratta di un flesso discendente perchè la f '' (x) passa da positiva a negativa, quindi la f da concava diventa convessa. La tesi è dimostrata.   Spazio per tradurre in disegno le fasi succ. della dim.:

Ora vediamo la dim. nel caso  f '' (c) = f '''(c) = 0, f I V (c) > 0 Dunque,  f I V (c) > 0. Quindi la f '''(x) è crescente in c. Ma f ''' (x) = 0.  Quindi f ''' (x) è neg. a sin. di c, pos. a destra di c. Quindi f '' (x) è decrescente a sinistra di c e crescente a destra di c. Ma f '' (c) = 0. Quindi f '' (x) è pos. sia a sinistra che a destra di c. Pertanto la f ha la concavità rivolta verso l'alto sia a sinistra che a destra di c. E' intuitivo, e si potrebbe d'altronde dimostrare utilizzando la "funzione differenza"   Y(x) = f(x) - [f(c) + f ' (c) (x-c)] in modo analogo a quanto fatto nella dimostrazione del teorema 9, che la f ha quindi la concavità rivolta verso l'alto in c. La tesi è dimostrata.   Spazio per tradurre in disegno le fasi succ. della dim.:

Osservazione.

Il teorema appena stabilito fornisce uno strumento in più per la determinazione dei flessi di una funzione.

Si tratta dunque di risolvere l'equazione y ’’ =0, per determinare le ascisse in cui si annulla la derivata seconda.

In corrispondenza di ciascuna di queste ascisse, si calcoleranno poi le derivate successive della funzione, fino a trovare la prima derivata non nulla. Nel caso in cui tale derivata sia di ordine dispari... ecc. ecc.

Così facendo, si potranno trovare alcuni flessi, ma può darsi che ce ne siano pure altri:

magari a tangente verticale (il presente metodo, richiedendo l’esistenza della derivata seconda in c, presuppone che la funzione ammetta derivata prima in c - più precisamente, su tutto un intorno di c - quindi restano esclusi gli eventuali punti a retta tangente verticale); o comunque tali che la y’’ cambi di segno senza annullarsi; oppure ancora “anomali”.

Pertanto si proseguirà come al punto b) delle Osservazioni al Teorema 9'.