FUNZIONI CRESCENTI O DECRESCENTI:

I. IN UN INSIEME

II. NELL’INTORNO DI UN PUNTO

III. IN UN PUNTO

Occhio, perché si tratta di TRE DEFINIZIONI BEN DISTINTE !

Naturalmente, apportando ovvie modifiche alle definizioni precedenti si otterranno le definizioni di

“funzione decrescente in E”, "funzione decrescente in un intorno di c", "funzione decrescente in c".

E’importante riconoscere che:

ü se f è crescente IN UN INTORNO DI c, evidentemente lo è anche IN c;

ü ma non vale necessariamente il viceversa

(discorso analogo vale sostituendo l’aggettivo “crescente” con “decrescente”).

Ad esempio, considera la figura 1a qui a fianco, dove è rappresentata la funzione

La funzione f è crescente

NELL' origine,

ma non

IN UN INTORNO DELL’ origine.

Fig. 1a

Anche la funzione della figura 1b qui a fianco, che è poi la seguente:

è crescente NELL' origine (Nota 1)

ma non IN UN INTORNO DELL’ origine (Nota 2).

Nota 1. E’ piuttosto facile dimostrare che

esiste un intorno dell’ascissa c=0 nel quale:

quando x<0, è g(x)<0=g(0);

quando x>0, è g(x)>0=g(0)

Nota 2. Questo fatto si può dimostrare utilizzando la “pendenza” della curva, ossia andando a calcolare la derivata g ’ (x) e analizzandone il segno.

Fig. 1b

Quindi la situazione in cui f è crescente (risp. decrescente) IN un punto c è più generale di quella in cui f è crescente (risp. decrescente) IN UN INTORNO DI c.

Attenzione però, nel consultare i libri di testo: la maggior parte degli Autori, quando scrivono

"f crescente (decrescente) in c", danno a questa locuzione il significato che noi abbiamo assegnato invece alla locuzione “f crescente (decrescente) in un intorno di c”.

D’altronde, sai bene che, quando si utilizza un testo, è sempre indispensabile tenere ben presenti le definizioni e convenzioni che QUEL testo pone e la simbologia che QUEL testo adotta.

q Teorema 1.

Se I è un intervallo, allora:

f crescente in I f crescente nell’intorno di ogni punto di I f crescente in ogni punto di I

f decrescente in I f decrescente nell’intorno di ogni punto di I f decrescente in ogni punto di I

Osservazione 1 (il discorso dei “gemelli”)

Abbiamo qui due proposizioni “gemelle” (scritte ciascuna su di una riga).

Noi, nelle osservazioni seguenti e nella dimostrazione, faremo riferimento soltanto alla prima delle due, in quanto il discorso riguardo all’altra si ridurrebbe ad una banale ed ovvia lieve modifica di cose già dette.

E analogamente ci regoleremo per altre coppie di proposizioni o definizioni “gemelle” che incontreremo in seguito.

Osservazione 2

Si tratta, in realtà, di tre biimplicazioni (è pur vero che, una volta dimostrate due qualsiasi di esse, la terza ne discenderebbe subito come conseguenza) quindi di tre teoremi riuniti in un unico enunciato.

Osservazione 3

Le implicazioni da sinistra a destra si dimostrano con estrema facilità; assai più problematico è invece dimostrare quelle da destra verso sinistra… pensaci bene: la verità di tali implicazioni viene subito colta come intuitivamente evidente, ma se tenti di organizzare un ragionamento dimostrativo rigoroso, ti troverai di fronte a difficoltà molto serie.

Osservazione 4

Abbiamo già discusso in modo approfondito nella parte A (dedicata ai “teoremi preliminari”) il fatto che l’esigenza di una dimostrazione rigorosa permanga, anche di fronte a quegli enunciati che sembrano intuitivamente condivisibili.

Osservazione 5

La biimplicazione

f crescente nell’intorno di ogni punto di I f crescente in ogni punto di I

ci dice che, mentre le due condizioni

II) f crescente NELL’INTORNO DI un punto c

III) f crescente IN un punto c

quando riferite AD UN SINGOLO punto, NON SONO equivalenti,

perché II) implica III) ma non viceversa,

esse DIVENTANO equivalenti quando le si suppone verificate PER TUTTI i punti di un INTERVALLO.

Osservazione 6 (sulla dimostrazione dell’enunciato)

Una dimostrazione corretta del Teorema 1 (o meglio, come abbiamo rimarcato, delle implicazioni da destra a sinistra, in quanto quelle da sinistra a destra si provano immediatamente) dipende in sostanza da considerazioni di carattere topologico. Si tratta essenzialmente di utilizzare il cosiddetto "Lemma di Borel", la cui trattazione ci porterebbe però in territori un po’ troppo impegnativi per l’ambito preuniversitario.

Siamo costretti perciò a omettere la dimostrazione del Teorema.

Passiamo ora ad una nuova Definizione.

Una funzione si dice "crescente in senso lato", o anche "non decrescente", in un insieme se

Analogamente si potrà parlare, adattando definizioni già date, di funzione crescente in senso lato (o non decrescente), in un intorno di un punto c, o in un punto c.

E’ del tutto ovvio poi il passaggio alle definizioni “gemelle” riguardanti una funzione “decrescente in senso lato”, o “non crescente”, in un insieme E, nell’intorno di un punto c, o in un punto c.

Quando scriveremo "crescente" (o “decrescente”), senza aggiungere altro, sottintenderemo sempre "in senso stretto".

q Teorema 2.

Se f è derivabile in c ed è f ' (c) > 0, allora f è crescente in c .

Se f è derivabile in c ed è f ' (c) < 0, allora f è decrescente in c.

Giustificazione intuitiva del Teorema 2

Dal punto di vista geometrico intuitivo, appare subito plausibile che il teorema sia vero perché la condizione

f ' (c) > 0

significa che la retta tangente nel punto di ascissa c ha coefficiente angolare positivo e quindi è "in salita".

Si capisce allora che dovrà essere “in salita” anche il grafico della funzione quando si passa dalla sinistra alla destra dell'ascissa c (vedi figura 2 qui a fianco).

Fig. 2

Dimostrazione

(come già dichiarato nell’ Osservaz. 1 al Teor. 1, farò riferimento solo alla prima delle due proposizioni “gemelle”. E’ del tutto evidente il fatto che il discorso relativo alla seconda, altro non sarebbe che una noiosa ripetizione - con ovvie modifiche - di quanto già detto).

Sia f ' (c) > 0. Per definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, avremo:

Per il Teorema della Permanenza del Segno, esiste dunque un intorno di c tale che, per ogni x di quell'intorno (eccettuato x = c) si abbia

Ma se la frazione è positiva, allora

per x < c (e quindi x-c<0) dovrà essere
ossia
per x > c (e quindi x-c>0) dovrà essere
ossia

La tesi è così dimostrata.

q Teorema 3.

Se f è derivabile in c ed è crescente in c, allora

Se f è derivabile in c ed è decrescente in c, allora

Dimostrazione

Se f è derivabile in c ed è crescente in c, non può essere f ' (c) < 0, altrimenti, per il teorema 2, f sarebbe decrescente in c.

Osservazione.

Sotto l'ipotesi che f sia crescente in c,

la tesi è dunque non f ' (c) > 0.

Infatti, ad esempio, la funzione f(x)=x³ è crescente nell'origine, ma la derivata nell’origine non è strettamente positiva: è invece nulla

(fig. 3 qui a fianco)

Fig. 3

Grafico di y=x³

q Teorema 4.

Se f è derivabile in un intervallo I e, per ogni , si ha allora f è crescente in I.

Se f è derivabile in un intervallo I e, per ogni , si ha allora f è decrescente in I.)

Dimostrazione

Conseguenza del teorema 2 e del teorema 1.

Osservazione 1:

Il Teorema 4 è valido per qualsiasi intervallo, sia esso limitato, illimitato, aperto, chiuso o semiaperto.

Nel caso in cui un estremo dell’intervallo sia incluso nell’intervallo stesso, la derivata corrispondente va intesa come unilaterale.

Osservazione 2 (IMPORTANTE: riguarda la particolare impostazione da noi scelta):

La maggior parte dei libri di testo fa a meno della definizione da noi stabilita di “funzione crescente (decrescente) IN un punto”, perché assegna a questa locuzione il significato che noi abbiamo invece riservato alla locuzione “f crescente (decrescente) NELL’INTORNO DI un punto” (cfr. NOTA a piè pagina ).

Ciò comporta, per questi testi, il “vantaggio” di evitare il ricorso al nostro Teorema 1, che dipende da considerazioni topologiche superiori (come il Lemma di Borel), ma anche l’inconveniente di dover rinunciare in linea di massima ad enunciati di carattere “locale” (come il nostro Teorema 2) e di doverli forzatamente sostituire con enunciati che impegnano il comportamento della funzione su interi intervalli, con un inevitabile rafforzamento (e quindi appesantimento e minore generalità) delle ipotesi. Anche i procedimenti dimostrativi ne risultano in più di un caso appesantiti.

Ad esempio il teorema 4 verrebbe dimostrato da questi testi ricorrendo al teorema di Lagrange:

Dimostrazione del Teorema 4 così come è proposta della maggior parte dei testi.

Supponiamo che f sia derivabile in un intervallo e che, per ogni , si abbia .

Vogliamo dimostrare che, sotto questa ipotesi, f è crescente in .

Siano dunque . Ci proponiamo di far vedere che è .

E’ possibile applicare Lagrange all’intervallo [x₁, x₂]

(infatti f è derivabile su tutto quindi in particolare è derivabile e continua su [x₁, x₂] )

ottenendo

dove indica un opportuno punto compreso fra x₁ e x_2.

L’ipotesi che sia >0 su tutto ci assicura che e da ciò si trae che

da cui .

Ricapitolando, abbiamo visto che, presi due generici punti x₁, x₂ di ,

Ciò prova che f è crescente in , c.v.d.