3.      MASSIMI E MINIMI RELATIVI ED ASSOLUTI DI UNA FUNZIONE

c punto di massimo relativo per la funzione f(x)   

c punto di    minimo relativo per la funzione f(x)   

c punto di massimo assoluto per la funzione f(x)   

c punto di minimo assoluto per la funzione f(x)      

Nella fig. 4 qui a fianco,

c₁ e c₃ sono punti di massimo relativo,

e c₃ è anche il punto di massimo assoluto.

I massimi relativi sono f(c₁) e f(c₃); quest’ultima ordinata costituisce anche il massimo assoluto.

I punti di minimo relativo sono c₂ e b;

i minimi relativi sono f(c₂) e f(b).

Non esiste un punto di minimo assoluto per la funzione rappresentata in figura:

si ha soltanto un "estremo inferiore",

che è poi, con espressione grossolana,         “ l’ordinata del buco ”, ossia il

Fig. 4

Nota, caro lettore, che la funzione proposta come esempio qui sotto non è definita con x =a, dove abbiamo un “buco” o, in termini matematici più seri, una “discontinuità di terza specie”

Se c è un punto di massimo relativo per la funzione , allora si dice che c è “forte” (o "proprio")

se e solo se

ossia, se il simbolo  può essere sostituito dal simbolo   (con x diverso da c, ovviamente).

Può invece accadere (sebbene sia circostanza “rara”) che, pur essendo c un punto di massimo relativo,

tuttavia in qualsiasi intorno di c la funzione  ritorni ad assumere il valore , cosicché sarebbe sbagliato scrivere il simbolo di disuguaglianza stretta.

In tal caso si dice che c è un punto di massimo relativo “debole” (o “improprio").

Evidentemente, si potrebbe formulare una definizione “gemella” per stabilire quando un punto di minimo relativo possa essere detto “forte” o “debole”.

La fig. 5 qui a fianco rappresenta la funzione

Il punto c=0 è di minimo relativo debole.

Infatti, in ogni intorno  dell’ascissa c=0 la funzione ritorna infinite volte ad assumere l’ordinata f(0)=0.

Possiamo dire che in un intorno di c si ha sempre , ma  sarebbe sbagliato affermare che esiste un intorno di c nel quale, con , si ha .

Fig. 5

Nella figura abbiamo voluto rappresentare anche la parabola y=x^2:

il grafico di f(x) è infatti stretto fra tale parabola e l’asse x.

q       Teorema 5 (di FERMAT).

f sia definita su di un intervallo I e sia c un punto di massimo o di minimo relativo

(brevemente: un estremante relativo), interno a tale intervallo (l’ipotesi che sia interno è indispensabile).

Allora (se, beninteso, f è derivabile in c), risulta

Osservazione 1

E' essenziale specificare che il punto di cui si parla è supposto interno all'intervallo di definizione della funzione: altrimenti, la tesi in generale non vale.

Ad esempio, nella fig. 6 qui a fianco,

dove il dominio della funzione rappresentata è l’intervallo chiuso [a,b],

il punto b è di massimo relativo,

eppure la derivata (sinistra) in b non è nulla.

Il teorema non è applicabile, perché il punto b considerato non è interno all’intervallo ma ne è invece un estremo.

Fig. 6

Osservazione 2

La condizione f ' (c) = 0  è necessaria, ma non sufficiente affinché c sia un estremante relativo interno all'intervallo di definizione.

Nella fig. 7a qui a fianco, è rappresentata la funzione

.

Nell’ascissa 2 la derivata si annulla:

.

La retta tangente in (2;1) è perciò orizzontale.

Tuttavia, il punto x=2 non è un estremante relativo.

In corrispondenza di questo punto, il grafico della funzione attraversa la retta tangente.

Quando ciò accade, si dice che siamo in presenza di un "punto di flesso".

Dei punti di flesso

ci occuperemo più dettagliatamente in seguito.

Fig. 7a

Un po’ più inconsueto è il caso della funzione rappresentata qui a fianco (fig. 7b):

(il grafico di g(x) è compreso fra le due parabole y= -x² e y = x²).

Nel punto c=0 la derivata esiste e si annulla (verificalo!),

ma non si tratta di un estremante relativo (e neppure di un punto di flesso).

Fig. 7b

Infine, il teorema vale (è ovvio, ma non nuocerà ribadirlo) sotto l'ipotesi che f sia derivabile in c;

tale ipotesi è di norma verificata, ma non sempre:

ad esempio, la funzione   ha un minimo

per c=0,  ma non è derivabile in tale punto.

Fig. 7c

y = abs(x)