Invece nel caso della figura 10 qui a fianco

non si parla di “flesso”, bensì di “cuspide”.

La funzione diagrammata è  

La curva è tangente in  alla retta verticale x=1.

Come descriveremo dunque una  "cuspide"?

Una “cuspide” è un punto (c, f(c) )

in cui la funzione è continua, e

non è derivabile, ma è tale che

la derivata sinistra e la derivata destra

valgono una , l'altra :

… in altre parole,

il rapporto incrementale sinistro in c

e il rapporto incrementale destro in c

tendono, al tendere a zero dell’incremento,

uno a , l'altro a :

Fig. 10: una cuspide

(vedi particolare qui sotto)

Particolare

del

grafico di fig. 10

Una "cuspide" può essere considerata come un caso particolare di "punto angoloso" .

Nella figura 11 qui a fianco,

dove è rappresentata la funzione ,

puoi osservare due punti angolosi,

di ascisse 1 e +1 rispettivamente.

Si dice "punto angoloso" un punto in cui

la funzione è continua ma

derivata sinistra e destra sono diverse fra loro (una o entrambe possono anche essere infinite).

Per esercizio, con riferimento alla fig. 11, verifica che le due semirette tangenti nel punto (1,0) hanno coeff. ang.  2 e 2.

                                  Fig. 11: due punti angolosi

Esercizio 1

Quanti gradi misura l’angolo formato dalle due “semitangenti” rappresentate in figura 11?

RICORDA:

A.       L’angolo  che una retta r: y=mx+q forma con l’asse orientato delle x è tale che

B.       Per calcolare l’angolo  formato dalle due rette 

   ed    applicheremo la formula :

a)      

se ci interessa un angolo “orientato”

(strettamente compreso fra 90° e +90°):

l’angolo di cui deve ruotare la retta r’ per sovrapporsi (con la rotazione più piccola fra tutte le possibili)

alla retta r, preso con segno positivo se la rotazione deve avvenire in senso antiorario, negativo se in senso orario

b)        

se vogliamo l’angolo “assoluto”  (=senza segno)

Esercizio 2

·          Verifica che la funzione  

presenta, nell’origine, un punto angoloso nel quale l’ampiezza dell’angolo formato dalle due semitangenti può essere modulata

a piacere assegnando valori opportuni ai due parametri a, b.

·          Successivamente, stabilisci quali valori devono assumere a e b affinché tale angolo misuri 45° (ti segnalo questo quesito, perché è particolarmente istruttivo. Non sempre i problemi proposti sono “determinati” … ne discuteremo).

Esercizio 3

·          Spiega perché la funzione   

presenta nell’origine un punto angoloso

in cui una delle due semitangenti è verticale.

·          Dimostra inoltre che l’angolo  formato dalle due semitangenti

è tale che