RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO, DI MINIMO E DI FLESSO ORIZZONTALE

COL METODO DELLO STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA

q Teorema 6 (con l’enunciato si dà simultaneamente anche la dimostrazione)

Sia una funzione derivabile in tutto un intorno di c, dotata di derivata nulla in c: .

Per stabilire se il punto c è di massimo, di minimo, o di flesso orizzontale basta

"studiare il segno della derivata prima nell'intorno di c", e precisamente:

· Se f ' (x) è

positiva a sinistra di c e negativa a destra di c,

allora f è crescente a sinistra di c e decrescente a destra di c (per il Teorema 4),

per cui c è un punto di massimo relativo

(f, essendo derivabile in c, è ivi anche continua e vale il precedente Lemma 1);

· Se f ' (x) è

negativa a sinistra di c e positiva a destra di c, allora …

per cui c è un punto di minimo relativo;

· Se f ' (x) è

positiva sia a sinistra che a destra di c, allora …

per cui c è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale;

· Se f ' (x) è

negativa sia a sinistra che a destra di c, allora …

per cui c è un punto di flesso discendente a tangente orizzontale.

NOTA. Gli ultimi due enunciati richiedono, per la loro dimostrazione, un’ovvia variante “unilaterale” del Lemma 1

Osservazioni

a) Nell'enunciato, "massimo" e "minimo" sono da intendersi come "massimo forte" e "minimo forte".

b) Questo teorema 6 fornisce il cosiddetto

"metodo per la ricerca dei punti di massimo, minimo e flesso orizzontale

con lo studio del segno della derivata prima".

Tale metodo è molto semplice:

data la funzione y=f(x), innanzitutto si risolve l'equazione f ' (x)=0 per determinare i punti stazionari;

poi si affronta lo studio del segno della derivata prima, e a tale scopo si risolve la disequazione f ' (x)>0;

in tal modo si trovano i valori di x per cui la y' è positiva, quindi, per esclusione, si possono trovare

anche quelli per cui la y' è negativa.

Non c'è nulla di impegnativo da memorizzare

riguardo a questo metodo:

basterà pensare al fatto che

y' positiva y crescente

y' negativa y decrescente

per stabilire la natura esatta

di ciascun punto stazionario.

c) E' chiaro che comunque che in tal modo non si potranno trovare gli eventuali estremanti relativi in cui la funzione non è derivabile (pensiamo ad esempio alla funzione che ha un minimo in 0).

Il discorso fatto riguarda poi i massimi e minimi relativi interni al dominio della funzione;

la ricerca degli eventuali estremanti relativi che stanno ai confini del dominio, come pure la ricerca degli estremanti assoluti, è tutt'altra cosa.

Ma gli estremanti dei tre tipi citati:

ü estremanti relativi in cui la funzione non è derivabile

ü estremanti relativi che stanno ai confini del dominio

ü estremanti assoluti

si troveranno in modo facile e immediato, dopo aver ultimato lo studio della funzione e averne tracciato il grafico definitivo.

Osservazione (possibilità di attenuazione delle ipotesi per il Teorema 6)

Le ipotesi del precedente teorema 6 potrebbero anche essere attenuate, per ciò che concerne il comportamento della funzione NEL punto c.

Ferma restando la derivabilità a sinistra e a destra di c, non è indispensabile che la funzione sia derivabile con derivata nulla in c (anche se questo poi è il caso di gran lunga più frequente nelle applicazioni); è sufficiente che f(x) sia CONTINUA in c, perché la tesi sia vera.

Si ottiene in tal modo la variante seguente:

q Teorema 6’

Sia y=f(x) una funzione continua in c, e derivabile in tutto un intorno di c, con esclusione, tutt’al più, del punto c.

Se f ' (x) è positiva a sinistra di c e neg. a destra di c, allora c è un punto di mass. rel. forte per la f.

Se f ' (x) è negativa a sinistra di c e pos. a destra di c, allora c è un punto di min. rel. forte per la f.

Se f ' (x) è positiva sia a sinistra che a destra di c, allora c è un punto di flesso ascendente per la f.

Se f ' (x) è negativa sia a sinistra che a destra di c, allora c è un punto di flesso discendente per la f.

Osserviamo che, di norma, le dimostrazioni del Teorema 6’ che si ritrovano sui testi di Scuola Media Superiore si basano sul Teorema di Lagrange.

Il ragionamento è più o meno il seguente

(facciamo riferimento al PRIMO dei quattro enunciati):

Sia

, dove abbiamo indicato con a, b gli estremi dell’intorno di c di cui parla l’ipotesi.

e , insomma, sono due punti presi arbitrariamente uno a sinistra e l’altro a destra di c

(sempre, s’intende, nell’ambito dell’intorno suddetto);

ci proponiamo di mostrare che tanto quanto sono minori di .

Il Teorema di Lagrange è applicabile all’intervallo [x₁, c] e ci dice che

essendo un opportuno punto compreso fra x₁ e c;

poiché , sarà e quindi ossia

Ora, Lagrange è applicabile anche all’intervallo [c, x₂] e ci dice che

essendo un opportuno punto compreso fra c e x₂;

poiché , sarà e quindi ossia

In definitiva, abbiamo provato che sia a sinistra che a destra di c è

e ciò dimostra, appunto, che c è di massimo relativo.