1. RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO, DI MINIMO E DI FLESSO ORIZZONTALE

COL METODO DELLA DERIVATA SECONDA (O DELLE DERIVATE SUCCESSIVE)

 

 

q       Teorema 7.

 

Sia  una funzione derivabile tante volte quanto occorra; (NOTA 1)

supponiamo che    (c punto stazionario). (NOTA 2)

 

Allora:

·         se , c è un punto di minimo relativo;

 

·         se , c è un punto di massimo relativo;

 

·         se  , nulla si può dire, per ora, intorno alla natura del punto stazionario c;

ma, in questo caso, si calcolino le derivate successive ...,

fino a trovare la prima di queste derivate che sia diversa da 0:  .

A questo punto:

·         se n è pari, allora c è un punto di minimo o di massimo relativo, e precisamente:

ü       c è un punto di minimo se     

ü       c è un punto di massimo se   

·         se n è dispari, allora c è un punto di flesso a tangente orizzontale, e precisamente:

ü       c è un punto di flesso orizzontale ascendente  se     

ü       c è un punto di flesso orizzontale discendente se     

 

Osservazione

Nell'enunciato, "massimo" e "minimo" sono da intendersi come "massimo forte" e "minimo forte".

 

 

 

NOTA 1.

 

Esprimendomi in questo modo, voglio dire:

l’enunciato riassume diverse possibili situazioni; non è perciò conveniente formulare un’unica ipotesi che valga nella totalità dei casi prospettati, perché poi, quando si va a prendere un caso specifico, tale ipotesi sarebbe inutilmente sovrabbondante; sottintenderemo invece che, qualora nell’enunciato venga chiamata in causa la derivata di un certo ordine, in un certo punto, la derivata in questione esista effettivamente in quel punto. Tutto molto ovvio e ragionevole, niente di speciale!

 

NOTA 2.

Occorre, qui e altrove, tener presente che l’esistenza della derivata  in un punto c comporta necessariamente l’esistenza della funzione  in tutto un intorno di c.

E allo stesso modo, se nell’enunciato si suppone l’esistenza di , derivata di ordine k calcolata nel punto c, allora ciò presuppone l’esistenza della derivata di ordine immediatamente inferiore, , in tutto un intorno di c.

 

Dimostrazione del teorema 7

 

PRIMA PARTE

 

Supponiamo che f ' (c) = 0,  f '' (c) > 0. Vogliamo dimostrare che c è punto di minimo relativo.

Osservazione: abbiamo già sottolineato che l'esistenza di f '' (c) presuppone l'esistenza di f ' (x) in tutto un intorno di c;    invece la derivata seconda potrebbe anche esistere esclusivamente nel punto c, sebbene il caso di gran lunga più comune sia che esista anch’ essa in tutto un intorno di c.

Dunque: se f '' (c) > 0, allora f ' (x) è crescente in c (ricordiamo che la f '' non è altro che la derivata della f ' );

ma essendo f ' (c) = 0, sarà quindi  f ' (x) < 0  per x<c,  e  f ' (x) > 0  per x>c

Pertanto la funzione f è decrescente a sinistra di c, e crescente alla destra di c (NOTA)

f è anche continua in c (infatti è derivabile in c), quindi possiamo concludere che c è punto di minimo relativo

(Lemma 1, o, volendo, Teorema 6 o Teorema 6’ )

 

Non sto, per ovvie ragioni, a scrivere la dimostrazione nel caso f ' (c) = 0,  f '' (c) < 0 (qui la tesi è che c sia punto di massimo relativo): essa sarebbe perfettamente speculare a quella appena conclusa.

 

NOTA:

In questo e in molti altri casi, quando scrivo “a sinistra di c”, “a destra di c”, oppure, come nella riga sopra,      “per x<c”, “per x>c”, il lettore deve comunque capire che sto usando, per brevità, dei modi di esprimermi “condensati”:

per la precisione dovrei dire “esiste un intorno di c per ogni x del quale avviene che: a sinistra di c ovvero se x<c ecc. ecc. e a destra di c ovvero se x>c ecc. ecc.”

Così scrivendo, però, l’esposizione si sfilaccerebbe un po’ troppo, da cui la scelta di locuzioni brevi, che poi chi legge interpreterà convenientemente.

 

SECONDA PARTE

 

Sia ora f ' (c) = 0 e anche  f '' (c) = 0.

Supponiamo che sia f ''' (c) = fIV(c) = 0  ed  fV(c) > 0.

Sto considerando un caso particolare, per meglio fissare le idee; tuttavia, dal modo in cui svolgerò la dimostrazione in questo caso particolare, si capirà come potrebbe essere svolta in altri casi particolari, e sarà a quel punto evidente la possibilità di formulare una dimostrazione di carattere generale (che non starò a riportare in queste dispense).

 

 

Sappiamo che  f V(c) > 0. Quindi la  f I V(x) è crescente in c.

 

Ma f I V(c) = 0. Quindi f I V(x) è neg. a sinistra di c, pos. a destra di c.

Quindi f ’’’  (x) è decrescente a sinistra di c e crescente a destra di c.

 

Ma f ''' (c) = 0. Quindi f ''' (x) è positiva sia a sinistra che a destra di c.

Quindi f '' (x) è crescente sia a sinistra che a destra di c.

 

Ma f '' (c) =0. Quindi f '' (x) è neg. a sinistra di c, pos. a destra di c.

Quindi f ' (x) è decrescente a sinistra di c, crescente a destra di c.

 

Ma f ' (c) =0.  Quindi f ' (x) è positiva sia a sinistra che a destra di c.

Quindi  f(x) è crescente sia a sinistra che a destra di c.

 

Pertanto il punto stazionario c è di flesso ascendente.

 

 

Fig. 14

 

 

Esercizi utilissimi.

 

ricostruisci passo a passo la figura 14, disegnando i grafici delle le funzioni  fV, fIV, f ''', f '', f ', f 

uno dopo l'altro in sequenza,

coerentemente con le ipotesi fatte sulle derivate successive della f.