Definizione:

Se esiste un intorno completo di c

per ogni x del quale, escluso c,

la curva sta AL DI SOPRA della tangente in P₀, allora si dirà che la curva stessa ha, in P₀,

“la concavità rivolta verso l’alto”.

Fig. 15a

Definizione:

E se esiste un intorno completo di c

per ogni x del quale, escluso c,

la curva sta AL DI SOTTO della tangente in P₀, allora si dirà che la curva stessa ha, in P₀,

“la concavità rivolta verso il basso”.

Fig. 15b

Si dice poi che una funzione f ha la concavità rivolta verso l'alto (verso il basso) in un intervallo I, se f ha la concavità rivolta verso l'alto (verso il basso) in ogni punto di I.

q       Teorema 8.

·         Se è , allora la funzione ha, in c, la concavità rivolta verso l'alto;

·         se è , allora la funzione ha, in c, la concavità rivolta verso il basso.

Insomma:

·         laddove la derivata seconda è positiva, la concavità è rivolta verso l'alto;

·         laddove la derivata seconda è negativa, la concavità è rivolta verso il basso

(ricordiamo che l'esistenza della y'' in un punto presuppone l'esistenza della y' in quel punto, anzi: addirittura in tutto un intorno del punto considerato).

Giustificazione con l’intuizione geometrica del teor. 8

(poiché la f '' non è altro che la derivata della f ' ),

la f ' è crescente in c;

ora, si capisce che se il coefficiente angolare della tangente alla curva cresce quando si attraversa l'ascissa c, la funzione è obbligata ad avere la concavità rivolta verso l'alto (vedi figura qui a fianco).

Analogamente, se fosse f '' (c) < 0 ...

Fig. 16

Tuttavia, il ragionamento di carattere geometrico appena fatto non può pretendere di costituire una dimostrazione rigorosa dell'enunciato. Vediamo qui di seguito tale dimostrazione.

Dimostrazione del teorema 8.

Supponiamo .

Vogliamo dimostrare che f ha, in c, la concavità rivolta verso l'alto.

Dovremo allora far vedere che,

in un intorno di c escluso c,

il grafico della funzione sta al di sopra della retta

ad esso tangente in (c, f(c)).

L’equazione di tale retta tangente è 

,

ossia 

Si tratterà dunque di provare che,

in un intorno di c escluso c, la differenza

è  .

Indichiamo con  questa differenza:

Avremo:

Essendo , sarà dunque ,

ed essendo   (c punto stazionario per Y),

c sarà punto di minimo forte per Y (teorema 7).

Ora, essendo  e c punto di minimo forte per Y,

in un intorno di c, escluso c,  sarà ,

come volevasi dimostrare (NOTA).

Analoga è la dimostrazione del teorema nel caso

 (caso nel quale la tesi è che f abbia , 

in c, la concavità rivolta verso il basso)                  Fig. 17

NOTA. Si può anche evitare di citare il precedente teorema 7.

Basta ragionare così: Essendo , è pure . Ma allora  è crescente in c; ed essendo   ,

 sarà negativa a sinistra di c e positiva a destra; pertanto  sarà decrescente a sinistra di c e crescente a destra.

Ma essendo ,  ciò implica  su tutto un intorno di c, eccettuato c.

IMPORTANTE “NOTA NELLA NOTA“: in realtà, quando noi diciamo, ad es., che

 è negativa, e perciò  decrescente,  “a sinistra di c:”, e  è positiva, e perciò  crescente,  “a destra di c:” intendiamo “in un intorno sinistro di c ESCLUSO c”, “in un intorno destro di c ESCLUSO c”

quindi la conclusione  richiederebbe, per la precisione, un riferimento alla continuità della  in c         (qui assicurata dal fatto che  è derivabile in c) e una citazione del Lemma 1.

Ormai però noi padroneggiamo ben solidamente la problematica del Lemma 1, per cui possiamo permetterci esposizioni più sintetiche, che lascino sottintesa qualche puntualizzazione, se questo può andare a vantaggio dell’efficacia espositiva. D’altronde così abbiamo già fatto nel corso della dimostrazione della Seconda Parte del Teorema 7.

E in questo modo ci prenderemo la licenza di fare anche in seguito.