VERSO L’ANALISI MATEMATICA: INTORNI, ESTREMI & C.

 

q       Insieme “numerico”

Viene così chiamato un insieme i cui elementi siano numeri reali; in altre parole: un sottoinsieme di R.

 

q       Punto

Poiché su di una retta dotata di:

a.       orientamento;     b.    origine;       c.   unità di misura

(brevemente, all’inglese: su di una “number line”)

ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto geometrico, e viceversa,

il termine “punto” è spesso usato come sinonimo di “numero, pensato rappresentato su di una number line”

 

q       Intervalli

Si chiamano “intervalli” particolari insiemi numerici (vedi schema seguente).

Gli intervalli possono essere: chiusi, aperti, semiaperti; possono essere limitati o illimitati.

 

 

Intervallo chiuso di estremi a e b:

 

 

Intervallo aperto di estremi a e b:

 

 

Int. di estr. a e b, chiuso a sin. e aperto a destra:

 

 

Int. di estr. a e b, aperto a sin. e chiuso a destra:

 

 

 

Intervallo chiuso illimitato superiormente:

 

 

Intervallo aperto illimitato superiormente:

 

 

Intervallo chiuso illimitato inferiormente:

 

 

Intervallo aperto illimitato inferiormente:

 

 

 

 

Anche l’intero insieme  è un intervallo (illimitato sia inferiormente che superiormente)

 

 

Da quanto sopra emerge che l’aggettivo “aperto”, riferito ad un intervallo, significa “privato degli estremi”,

mentre “chiuso” significa “compresi gli estremi”  (ci sono poi le situazioni intermedie degli intervalli “semiaperti”).

Vedremo più avanti come gli stessi aggettivi “aperto” e “chiuso” possano essere adoperati, con un significato che verrà precisato, in relazione a sottoinsiemi di R qualsiasi.

 

 

q       Si dice “intorno” di un punto x0, un qualsiasi intervallo aperto contenente x0.

 

Quindi possiamo dire che un “intorno” di x0 è un intervallo della forma ,

essendo  due numeri strettamente positivi.

La distanza  viene detta “l’ampiezza” dell’intorno dato.  

Un intorno di x0 viene di norma indicato con: , oppure   

 

 

q       Intorni “circolari” di un punto.

Si tratta di quegli intorni per i quali .

Quindi: si dice “intorno circolare” di x0,

un intervallo aperto della forma .

·         Si parla di “intorno circolare di centro x0 e raggio  ”

·         Si può utilizzare il simbolo  

·         L’ampiezza di tale intorno è  

Quindi è  

E si può scrivere (MOLTO importante!):

 

                                                                  

 

 

q       Intorno di “meno infinito” (  ):

E’ un qualsiasi intervallo aperto del tipo :

 

 

Un intorno di “meno infinito”: l’insieme degli x < a

q       Intorno di “più infinito” (  ):

è un qualsiasi intervallo aperto del tipo  

 

 

Un intorno di “più infinito”: l’insieme degli x > b

 

q       Intorno di “infinito” (  ):

è l’unione di un intorno di  con un intorno di  

 

dove ordinariamente interessa il caso  a<b,

ma potrebbe anche essere a = b (e allora l’intorno di  coinciderebbe con tutto R privato di un solo punto)

o a>b (l’intorno di  coinciderebbe con l’intero insieme R)

 

Un intorno di infinito:

l’insieme degli x minori di a, VEL maggiori di b

q       Intorno circolare di infinito:    o anche   

dove di norma k>0, ma potrebbe essere pure k=0 o k<0, nel quale ultimo caso l’intorno circolare di  coinciderebbe con l’intero insieme  

 

q       Osservazione importante: l’intersezione di due intorni di c è ancora un intorno di c

(dove con c voglio qui indicare indifferentemente un’ascissa finita x0, oppure , o , o  )

 

 

q       Intorni “unilaterali”: intorno sinistro, intorno destro di un punto.

·         Si dice “intorno sinistro” di un punto x0,

un qualsiasi intervallo  

·         Si dice “intorno destro” di un punto x0,

un qualsiasi intervallo  

 

 

Osservazione.   Qualche testo preferisce formulare le definizioni nel modo seguente:

“intorno sinistro” di x0 = ;  “intorno destro” di  x0 = . Viene così escluso dall’intorno il punto x0 stesso.

Ciò da una parte permette un risparmio di parole in alcuni enunciati, ma dall’altra è assai poco “naturale”, perché è paradossale tagliare fuori dall’intorno proprio il punto di cui ci si sta occupando.

Perciò noi adotteremo le definizioni da cui abbiamo preso le mosse, quelle in cui l’intervallo è chiuso dalla parte di x0.

 

q       Quando si vuole sottolineare che un intorno di un punto x0 è “bilaterale”, si parla di “intorno completo”.

Questo aggettivo fa da rafforzativo per maggiore chiarezza, ma resta inteso che ogniqualvolta scriveremo  semplicemente “intorno”, intenderemo sempre “intorno bilaterale ovvero completo”, salvo una eccezione: parlando di un estremo di un intervallo [a, b], si potrà scrivere semplicemente “intorno” ma sottintendere che tale intorno sia: soltanto destro, per a, e soltanto sinistro, per b.

 

q       Noi in generale quando considereremo un intorno di x0, lo prenderemo circolare.

D’altra parte, accade spessissimo che risulti indifferente pensare ad intorni “circolari” o “generici”.

Su questo fatto ritorneremo a riflettere, quando la circostanza si presenterà.