q Punti di accumulazione di un insieme numerico
Dato un insieme ,
il punto x0 (appartenente o non appartenente
ad E) si dice “punto di accumulazione” per E se ogni intorno completo di x0
contiene almeno un punto di E, distinto da x0.
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Esempio 1 Consideriamo l’intervallo aperto (a, b). Evidentemente, qualsiasi punto x di (a, b) è di accumulazione per (a, b); ma anche i due estremi a, b, pur non appartenendo ad (a, b), sono punti di accumulazione per (a, b).
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Esempio 2 Consideriamo l’insieme
di cui nella figura qui a fianco sono rappresentati alcuni fra gli infiniti elementi. Questo insieme F possiede un punto di accumulazione, non appartenente all’insieme stesso: si tratta del numero 0. Infatti, ogni intorno di 0 contiene punti di F !!! Dimostriamolo. Fissiamo un intorno di 0 ossia un intervallo aperto del tipo
Ora, se noi prendiamo una frazione della forma 1/k e diamo a k valori molto grandi, otteniamo che la frazione si fa “piccola quanto noi desideriamo”, per cui, comunque
piccolo sia stato fissato tale frazione riuscirà comunque a “intrufolarsi” fra 0 e In effetti, se
vogliamo che sia si abbia basta che scegliamo |
Per ovvi motivi
pratici di carattere grafico, abbiamo rappresentato in figura soltanto pochi
fra gli infiniti elementi dell’insieme (la figura mostra poi anche il punto 0, non appartenente all’insieme F). Ma con gli occhi della mente possiamo “vedere” gli elementi di F “accumularsi”, al crescere di k, in prossimità dello 0.
Osserviamo poi che 0 è l’unico punto di accumulazione per l’insieme F. Infatti, qualora noi prendiamo un altro punto c, diverso dallo 0, · se c NON appartiene ad F, riusciremo sempre a determinare un intorno di c talmente piccolo da non contenere alcun punto di F; · e se c appartiene ad F, riusciremo sempre a determinare un intorno di tale punto, talmente piccolo da non contenere altri punti di F se non, appunto, il centro dell’intorno. |
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Esempio 3. - L’insieme Q dei numeri razionali ha come punti di accumulazione … tutti i numeri reali!
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q Teorema: Se x0 è un punto di accumulazione dell’insieme E, allora ogni intorno di x0 contiene INFINITI punti di E.
Dimostrazione: sia x0 un punto di accumulazione di E. Fissiamo un intorno I(x0) . Per definizione di punto di accumulazione, tale intorno conterrà almeno un punto di E, distinto da x0; chiamiamo x1 questo punto. Consideriamo ora l’intorno di centro x0 e raggio tale intorno dovrà contenere un altro punto di E, distinto da x0; indichiamolo con x2. Osserviamo che x2 apparterrà anche all’iniziale I(x0). Andiamo ora a considerare l’intorno di centro x0 e raggio
Insomma, il procedimento può essere iterato in modo da trovare in I(x0) tanti elementi di E quanti se ne desiderano. |
In virtù di questo teorema, molti testi definiscono direttamente “punto di accumulazione di un insieme E”, un punto tale che in ogni suo intorno cadano infiniti punti di E. |
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