Sia E un insieme numerico, e sia .

q       x₀ si dice INTERNO ad E se e solo se esiste un intorno completo di x₀, interamente incluso in E.

Se prendiamo come insieme E

l’intervallo APERTO (a,b),

vedremo che TUTTI i punti di E sono “interni”.

Sei d’accordo? Osserva la figura qui a fianco.

Sia x un qualsivoglia punto di (a, b);

Indicata con  la più piccola fra le distanze di x

dagli estremi a, b dell’intervallo, qualsiasi intorno

di centro x e raggio  è incluso in (a,b).

Quindi x è interno ad (a,b).

Dunque (importante): TUTTI i punti di un

intervallo APERTO sono “INTERNI” all’intervallo.

TUTTI i punti di un intervallo APERTO

sono INTERNI all’intervallo

Se invece prendiamo come insieme E

l’intervallo CHIUSO [a, b],

ci renderemo conto che i suoi punti “INTERNI” nel senso della definizione da noi posta sono tutti quelli STRETTAMENTE COMPRESI fra a e b, ossia sono i punti che costituiscono l’intervallo aperto (a, b).

Invece gli estremi a, b NON sono punti “interni” all’insieme [a, b].

Questa volta l’intervallo considerato è l’ intervallo CHIUSO [a,b].

Comunque piccolo prendiamo il raggio dell’intorno di centro a, una parte dell’intorno scapperà fuori dall’ intervallo. Non esiste nessun intorno completo di a che sia interamente incluso nell’intervallo [a, b].

Quindi il punto a NON è interno all’intervallo considerato.

E analogamente per b.

Invece tutti gli altri punti dell’intervallo sono “INTERNI” ad esso.

Consideriamo l’insieme Z degli interi relativi:

Constatiamo che NESSUN punto di Z è “interno”.

Consideriamo invece il COMPLEMENTARE (rispetto a R) dell’insieme Z:

TUTTI i suoi punti sono “interni”.

Come ben sai, tra due qualsiasi punti dell’asse reale,

cadono infiniti punti ad ascissa irrazionale e infiniti punti ad ascissa razionale.

Pertanto nessun punto dell’insieme Q è “interno” a Q, e nessun punto dell’ins. R  Q è “interno” a R  Q .

Sia E un insieme numerico, e  un punto che NON vi appartenga (  ).

q       Il punto x₀ si dice ESTERNO ad E se e solo se esiste un intorno completo di x₀, privo di intersezione con E.

Possiamo anche vederla così: un punto si dice esterno ad E se e solo se è interno al complementare di E, cioè all’insieme .

Sia E un insieme numerico.

q       Il punto x₀ (appartenente o non appartenente ad E) si dice DI FRONTIERA per E se e solo se

qualsiasi intorno completo di x₀ interseca tanto l’insieme E quanto il suo complementare.

Se E = [a, b), i punti interni di E sono tutti i punti di (a, b); i punti esterni ad E sono tutti i punti di

; i punti di frontiera di E sono il punto a e il punto b.

Consideriamo l’insieme  

F non ha punti interni.

I punti esterni di F sono tutti i punti che non appartengono a F, tranne il punto 0.

L’insieme dei punti di frontiera di F è .

L’insieme Q dei numeri razionali non ha né punti interni, né punti esterni. Tutti i numeri reali sono punti di frontiera per Q

Sia E un insieme numerico, sia cioè .

q       Si dice che E è un insieme “aperto” se tutti i suoi punti sono interni.

Esempi:

·          Ogni intervallo aperto (a, b) (dove l’aggettivo “aperto” è usato qui per indicare “privato degli estremi”)

è anche un insieme “aperto” nel senso della definizione appena posta.

Infatti abbiamo osservato in precedenza che ogni punto di un intervallo aperto (a,b) è interno ad (a,b)

·          Invece  un intervallo chiuso [a, b] (qui l’aggettivo “chiuso” è usato per indicare “estremi inclusi”)

NON è un insieme “aperto”, nel senso sopra specificato, perché non tutti i suoi punti sono interni:

infatti, a e b non lo sono.

·         Il complementare rispetto a R dell’insieme Z degli interi relativi è un insieme aperto

q       Un insieme  si dice “chiuso” se tutti i punti di accumulazione di E appartengono ad E.

Esempi:

·          ogni intervallo chiuso [a, b] (dove l’aggettivo “chiuso” è usato qui per indicare “estremi inclusi”)

è anche un insieme “chiuso” nel senso della definizione appena posta.

Infatti i punti di accumulazione di [a, b] sono per l’appunto tutti e soli i punti di [a ,b]

·          Invece l’intervallo aperto (a,b) (abbiamo qui usato l’aggettivo “aperto” nel senso di “privato degli estremi”)

NON è un insieme “chiuso” nel senso sopra precisato, perché ammette come punti di accumulazione anche

gli estremi a, b, che non appartengono all’intervallo.

·           non è chiuso, perché non contiene quello che è il suo unico punto di accumulazione, ossia il punto 0; e non è nemmeno aperto, come abbiamo visto in precedenza.

·           è un insieme chiuso. L’unico suo punto di accumulazione (il punto 0) appartiene infatti all’insieme.