q       Estremo superiore, estremo inferiore di una funzione su di un insieme

Massimo e minimo assoluti di una funzione su di un insieme

 

Data una funzione y =f(x), detto D il suo dominio, e indicato con E un sottoinsieme di D  (  ),

quando parliamo di “estremo superiore (risp.: inferiore) della f sull’insieme E”,

intendiamo riferirci all’estremo superiore (risp.: inferiore) dell’insieme f(E),

dove il simbolo f(E) indica l’insieme delle immagini dei punti di E attraverso la f

(in altre parole: l’insieme dei valori assunti dalla f(x), al variare di x in E).

Dunque:

 

= estremo superiore della funzione f sull’insieme      =  estremo inferiore   della funzione f sull’insieme

 

ü        Quando diciamo semplicemente “ l’estremo superiore (risp. inferiore) della f(x)” , sottintendiamo di prendere E=D, cioè sottintendiamo che l’insieme di riferimento sia l’intero dominio della funzione.

 

Analogamente, si dirà “massimo (risp.: minimo) della f(x) in E, il massimo (risp.: il minimo), QUALORA ESISTA, dell’insieme f(E).

Si preferisce, tuttavia, parlare di “massimo assoluto” (risp.: “minimo assoluto”) per evitare possibili equivoci con la locuzione “massimo relativo” (risp. “minimo relativo”), che ha un altro significato di cui ci occuperemo successivamente.

ü        Se si scrive “ massimo (risp.:minimo) assoluto per la funzione f ”, senza citare un particolare insieme, si intende che  l’insieme di riferimento sia l’intero dominio della f (ossia: E=D).

 

E’ importante l’osservazione seguente:

affermare che una funzione f(x) ammette come massimo assoluto, su di un insieme E, un certo numero M, comporta che : infatti, il massimo di un insieme è l’estremo superiore dell’insieme, qualora questo sia finito ed appartenga all’insieme.

Ma se , ciò significa che M è immagine, attraverso la f, di almeno un punto di E, cioè che M è un valore che viene effettivamente assunto dalla f, in corrispondenza di un certo x’ appartenente ad E.

In definitiva, possiamo scrivere che

 

M è il massimo assoluto di f(x) sull’ins.

 

ü        Riguardo all’ascissa x’ che “genera” il massimo assoluto, essa viene detta “punto di massimo ass. per la f su E”.

Insomma: “massimo assoluto” è un’ordinata, “punto di massimo assoluto” è l’ascissa a cui corrisponde quell’ordinata (tale ascissa può eventualmente non essere unica).

 

Analogamente per il minimo:

affermare che una funzione f(x) ammette come minimo assoluto, su di un insieme E, un certo numero m, comporta che : infatti, il minimo di un insieme è l’estremo inferiore dell’insieme, qualora questo sia finito ed appartenga all’insieme.

Ma se , ciò significa che m è immagine, attraverso la f, di almeno un punto di E, cioè che m è un valore che viene effettivamente assunto dalla f, in corrispondenza di un certo x’’ appartenente ad E.

In definitiva, possiamo scrivere che

 

m è il minimo assoluto di f(x) sull’insieme

 

ü        Riguardo all’ascissa x’’ che “genera” il minimo assoluto, essa viene detta “punto di minimo assol. per la f su E”.

Insomma: “minimo assoluto” è un’ordinata, “punto di minimo assoluto” è l’ascissa a cui corrisponde quell’ordinata (tale ascissa può eventualmente non essere unica).

 

Una funzione f(x) ammette sempre, su di un dato insieme E, estremo superiore e inferiore (eventualmente infiniti), ma potrebbe non ammettere massimo assoluto e/o minimo assoluto.

 

Gli esempi successivi dovrebbero chiarire bene quanto detto.

Esempi:

 

Nella figura qui a fianco,   M = f(a) è il massimo assoluto per la funzione rappresentata, sull’insieme E = [a,b]. a è il punto di massimo assoluto.   m = f(c) è il minimo assoluto della f su [a,b]. c è il punto di minimo assoluto.
La funzione   rappresentata nella figura qui a fianco ammette massimo assoluto sul suo dominio R: . Il punto di massimo assoluto è quindi l’ascissa x=0.   Invece questa funzione non ammette minimo assoluto nel suo dominio: il suo estremo inferiore è 0, che però non è un valore assunto dalla funzione, quindi non ne è il minimo. I valori assunti dalla funzione costituiscono l’intervallo semiaperto (0,2]:
La funzione   ha come grafico una “parabola col buco”.   L’insieme dei valori assunti dalla funzione sul suo dominio R è l’intervallo   Abbiamo , e la funzione non ammette né massimo assoluto, né minimo assoluto, sul suo dominio.   Invece la stessa funzione h(x): sull’insieme [1,2] avrebbe come massimo 3 e come minimo 0; sull’insieme (1,2] avrebbe come estremo superiore 3 (ma non avrebbe massimo), e come minimo 0; sull’insieme (0,1] avrebbe come estremo superiore 4 (ma non avrebbe massimo), e come minimo 3; sull’insieme [0,1] avrebbe come estremo superiore 4 (ma non avrebbe massimo), e come minimo 1.

 

q       Massimi e minimi relativi di una funzione

 

Passiamo ora a descrivere cosa si intende per “punto di massimo (risp.: minimo) RELATIVO”, di una funzione y=f(x).

c  punto di massimo relativo per la funzione f(x)   

c  punto di    minimo relativo per la funzione f(x)   

ü        Si dice che il valore f(c) è un "massimo (minimo) relativo" per la funzione f. Dunque:

quando si dice "punto di massimo (minimo) relativo" si intende parlare di un'ascissa,

mentre quando si dice "massimo (minimo) relativo" ci si riferisce ad un'ordinata.

 

Nella figura qui a fianco,   c1 e c3 sono punti di massimo relativo, e c3 è anche il punto di massimo assoluto. I massimi relativi sono f(c1) e f(c3); quest’ultima ordinata costituisce anche il massimo assoluto.   I punti di minimo relativo sono c2 e b; i minimi relativi sono f(c2) e f(b).   Non esiste un punto di minimo assoluto per la funzione rappresentata in figura: si ha soltanto un "estremo inferiore", che è poi, con espressione grossolana,         “ l’ordinata del buco ”.			La funzione proposta come esempio non è definita con x =a, dove abbiamo un “buco” .
La funzione y=sen x ammette infiniti punti di massimo relativo: tutte le ascisse   I corrispondenti massimi relativi valgono tutti 1. Ammette anche infiniti punti di minimo relativo: le ascisse   I corrispondenti minimi relativi valgono tutti 1. Il massimo assoluto della funzione sul suo dominio è 1 (e viene assunto infinite volte!). Il minimo assoluto è 1, che viene assunto infinite volte.
non ammette né massimo assoluto, né minimo assoluto (ammette come estremo superiore   e come estremo inferiore  ), ma ammette un massimo relativo e un minimo relativo. Si dimostra che: il punto di massimo relativo è   (il massimo relativo è  ); il punto di minimo relativo è   (il minimo relativo è

 

Potremmo dire che “massimo relativo” e “minimo relativo” sono concetti di carattere “LOCALE”, mentre

“massimo assoluto” e “minimo assoluto” sono concetti di carattere “GLOBALE”.