Vale innanzitutto il seguente TEOREMA FONDAMENTALE:

Se  è una funzione CONTINUA su di un INTERVALLO I, allora anche  è un INTERVALLO

q   Ricordiamo che col simbolo  si indica “ l’insieme delle immagini dei punti di I ”, ossia

        “ l’insieme dei valori assunti dalla funzione , quando x varia in I ”.

          Dicendo “la funzione” in questo caso si intende “la variabile dipendente”, “la y”).

         “Funzione” è sostantivo che sovente è utilizzato per indicare, in realtà,

         “la variabile dipendente di una funzione”.

q   L’insieme  viene anche chiamato “l’immagine di I attraverso la  f ”.

Se   è una funzione CONTINUA su di un intervallo CHIUSO E LIMITATO [a, b], allora:

  (1)  l’insieme  dei valori che la y assume, al variare di x in [a, b],

         è anch’esso un intervallo chiuso e limitato;

  (2)  la funzione  ammette minimo assoluto e massimo assoluto in [a, b]

         (Teorema di Weierstrass; Karl Weierstrass, tedesco, 1815 – 1897)

  (3)  la funzione  assume, almeno una volta, ogni valore compreso fra il suo minimo e il suo massimo

         (Teorema dei Valori Intermedi);

  (4)  se  e  sono discordi, allora  si annulla almeno una volta nell’intervallo aperto (a, b)

         (Teorema dell'Esistenza degli Zeri delle Funzioni Continue)

Se sei interessato a queste tematiche, puoi ricercare, su Internet o in Biblioteca, nell’argomento

“topologia”, o “spazi topologici”, o “spazi metrici”, le definizioni di “insieme connesso” e di “insieme compatto”,

con i teoremi secondo i quali

·      “i sottoinsiemi di  aventi la proprietà di essere sia ‘connessi’ che ‘compatti’

           sono tutti e soli gli intervalli chiusi e limitati”

·      “l’immagine di un insieme connesso attraverso una funzione continua è ancora un insieme connesso”

   (brevemente: “l’immagine continua di un connesso è ancora un connesso”)

·      “l’immagine continua di un compatto è ancora un compatto”

Pensiamo ad esempio al teorema (2), quello detto “di Weierstrass”:

“se  è una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato [a, b],

allora la funzione  f ammette minimo assoluto e massimo assoluto in [a, b]”.

Supponiamo di voler disegnare

sull’intervallo [a, b] della figura qui a fianco,

una funzione  che sia continua su tutto l’intervallo chiuso e limitato [a, b].

La nozione intuitiva di continuità su di un intervallo fa pensare ad una curva

che possa essere tracciata “senza mai staccare la matita dal foglio” …

quindi dovremo partire con la punta della matita

appoggiata sul punto di coordinate

e muovere la matita senza mai alzarne la punta

fino ad approdare in .

Ora, si capisce che in questo nostro “viaggio” saremo OBBLIGATI, PER FORZA,

a toccare un massimo assoluto da cui ridiscendere e un minimo assoluto dal quale risalire!

… tuttavia, giustificazioni "geometrico-intuitive" di questo tipo

non sono ritenute sufficientemente rigorose, per diversi motivi:

·       L'esistenza di funzioni stranissime ci mostra che, in Analisi, l'intuizione a volte può ingannare.

 Basti pensare che proprio il tedesco Weierstrass  diede per primo (1871) un esempio di funzione

 continua su TUTTO un intervallo, ma non derivabile in QUASI NESSUN punto di quell'intervallo!!!

 Diciamo la verità, chi mai avrebbe scommesso che potesse esistere una funzione siffatta?!?

·       In particolare, la possibilità di costruire funzioni come quella di Weierstrass appena citata,

 ma anche soltanto il pensare a una funzione come la

stramba e tutta “disgregata” ma tuttavia dotata della proprietà di essere continua in ,

ci fanno dubitare dell’idea che la continuità di una funzione su di un intervallo

possa essere sempre interpretata come

“la possibilità di tracciamento del grafico senza mai staccare la matita dal foglio”

(ammettendo pure che questa idea legata all’esperienza concreta sia in qualche modo “matematizzabile”,

 cioè traducibile in relazioni non equivoche fra entità matematiche astratte).

·       E’ atteggiamento caratterizzante della matematica l’organizzare ciascun tema oggetto di studio

secondo una struttura “ipotetico-deduttiva” (basti pensare alla geometria euclidea …)

Insomma, si sceglie un sistema di proposizioni “di base” (=gli “assiomi”) e, a partire da questi,

per via puramente logica, si ricavano altre proposizioni “dimostrate” (= i “teoremi”).

Se una proposizione che si sospetta fortemente esser vera non è stata dimostrata come teorema,

q       o la si tiene “congelata” come “congettura”

 (= proposizione “plausibile”, non smentita, ma comunque ancora in attesa di una dimostrazione)

q       oppure si decide di aggiungerla esplicitamente alla famiglia degli assiomi.

·       Ancora: il dimostrare questioni numeriche restando in ambito puramente numerico

(quindi, evitando di coinvolgere la geometria),

permette di dare piena autonomia alla costruzione teorica dell' Aritmetica-Algebra-Analisi

(in effetti, il completo affrancamento dell'Analisi dalla Geometria è considerato

una delle maggiori conquiste intellettuali della matematica del Diciannovesimo secolo)

Intendiamoci:

con ciò, non voglio dire che in Analisi si debba rinunciare all'intuizione geometrica, tutt'altro!

Questa, anzi, è utilissima, insostituibile!!!

Come scrisse August De Morgan (1806 -1871):

“The moving power of mathematical invention is not reasoning but imagination”.

Voglio solo sottolineare che la validità di quegli enunciati,

che siamo portati a intuire e a ritenere plausibili a partire da una visione geometrica,

deve poi essere stabilita in via definitiva con catene deduttive fondate su basi puramente razionali.