2.9   RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO, DI MINIMO E DI FLESSO ORIZZONTALE

       COL METODO DELLA DERIVATA SECONDA (O DELLE DERIVATE SUCCESSIVE)

 

 

q     Teorema 7

 

Sia  una funzione derivabile tante volte quanto occorra; (NOTA 1)

supponiamo che    (x0 punto stazionario). (NOTA 2)

 

Allora:

 

q         se , x0 è un punto di minimo relativo;

 

q         se , x0 è un punto di massimo relativo;

 

q         se , nulla si può dire, per ora, intorno alla natura del punto stazionario x0;

ma, in questo caso, si calcolino le derivate successive ...,

fino a trovare la prima di queste derivate che sia diversa da 0: 

.

A questo punto:

 

·         se n è pari, allora x0 è un punto di minimo o di massimo relativo, e precisamente:

a)     x0 è un punto di minimo se    

b)     x0 è un punto di massimo se  

 

·         se n è dispari, allora x0 è un punto di flesso a tangente orizzontale, e precisamente:

a)     x0 è un punto di flesso orizzontale  ascendente   se    

b)     x0 è un punto di flesso orizzontale  discendente  se    

 

OSSERVAZIONE

 

Nell'enunciato, "massimo" e "minimo" sono da intendersi come "massimo forte" e "minimo forte".

 

 

NOTA 1

 

Esprimendomi in questo modo, voglio dire: l’enunciato riassume diverse possibili situazioni;

non è perciò conveniente formulare un’unica ipotesi che valga nella totalità dei casi prospettati,

perché poi, quando si va a prendere un caso specifico, tale ipotesi sarebbe inutilmente sovrabbondante;

sottintenderemo invece che, qualora nell’enunciato venga chiamata in causa la derivata di un certo ordine,

in un certo punto, la derivata in questione esista effettivamente in quel punto.

Tutto molto ovvio e ragionevole, niente di speciale!

 

NOTA 2

 

Occorre, qui e altrove, tener presente che l’esistenza della derivata  in un punto x0

comporta necessariamente l’esistenza della funzione  in tutto un intorno di x0.

E allo stesso modo, se nell’enunciato si suppone l’esistenza di ,

derivata di ordine k calcolata nel punto x0,

allora ciò presuppone l’esistenza della derivata di ordine immediatamente inferiore, ,

in tutto un intorno di x0.

 

Dimostrazione del teorema 7

 

PRIMA PARTE

 

Supponiamo che f ' (x0) = 0,  f '' (x0) > 0. Vogliamo dimostrare che x0 è punto di minimo relativo.

 

Osservazione: abbiamo già sottolineato che l'esistenza di f ” (x0)

presuppone l'esistenza di f ’ (x) in tutto un intorno di x0;

invece la derivata seconda potrebbe anche esistere esclusivamente nel punto x0,

sebbene il caso di gran lunga più comune sia che esista anch’ essa in tutto un intorno di x0.

 

Dunque: se f '' (x0) > 0, allora f ' (x) è crescente in x0 (ricordiamo che la f '' non è altro che la derivata della f ' );

ma essendo f ' (x0) = 0, sarà quindi  f ' (x) < 0  per x< x0,  e  f ' (x) > 0  per x> x0

Pertanto la funzione f è decrescente a sinistra di x0, e crescente alla destra di x0 (NOTA)

f è anche continua in x0 (infatti è derivabile in x0),

quindi possiamo concludere che x0 è punto di minimo relativo (Lemma 1, o, volendo, Teorema 6 oppure 6’ )

 

Non sto, per ovvie ragioni, a scrivere la dimostrazione nel caso f ’ (x0) = 0,  f ” (x0) < 0

(qui la tesi è che x0 sia punto di massimo relativo):

essa sarebbe perfettamente speculare a quella appena conclusa.

 

NOTA

In questo e in molti altri casi, quando scrivo “a sinistra di x0”, “a destra di x0”,

oppure, come nella riga sopra, “per x< x0”, “per x> x0”,

il lettore deve comunque capire che sto usando, per brevità, dei modi di esprimermi “condensati”:

per la precisione dovrei dire “esiste un intorno di x0 per ogni x del quale

avviene che: a sinistra di x0 ovvero se x< x0  ecc. ecc. e a destra di x0 ovvero se x> x0  ecc. ecc.”

Così scrivendo, però, l’esposizione si sfilaccerebbe un po’ troppo,

da cui la scelta di locuzioni brevi, che poi chi legge interpreterà convenientemente.

 

SECONDA PARTE

 

Sia ora f ' (x0) = 0 e anche  f '' (x0) = 0.

Supponiamo che sia f ''' (x0) = f IV(x0) = 0  ed  f V(x0) > 0.

Sto considerando un caso particolare, per meglio fissare le idee;

tuttavia, dal modo in cui svolgerò la dimostrazione in questo caso particolare,

si capirà come potrebbe essere svolta in altri casi particolari,

e sarà a quel punto evidente la possibilità di formulare una dimostrazione di carattere generale

(che non starò a riportare in queste dispense).

 

 

Sappiamo che  f V(x0) > 0. Quindi la  f I V(x) è crescente in x0.

 

Ma f I V(x0) = 0. Quindi f I V(x) è negativa a sinistra di x0, pos. a destra di x0.

Quindi f ’’’  (x) è decrescente a sinistra di x0 e crescente a destra di x0.

 

Ma f ''' (x0) = 0. Quindi f ''' (x) è positiva sia a sinistra che a destra di x0.

Quindi f '' (x) è crescente sia a sinistra che a destra di x0.

 

Ma f '' (x0) =0. Quindi f '' (x) è negativa a sinistra di x0, pos. a destra di x0.

Quindi f ' (x) è decrescente a sinistra di x0, crescente a destra di x0.

 

Ma f ' (x0) =0.  Quindi f ' (x) è positiva sia a sinistra che a destra di x0.

Quindi  f(x) è crescente sia a sinistra che a destra di x0.

 

Pertanto il punto stazionario x0 è di flesso ascendente.

 

Fig. 14

 

Esercizi utilissimi.

 

·       Per ripassare in modo molto efficace le dimostrazione della SECONDA PARTE del Teorema,

ricostruisci passo a passo la figura 14, disegnando i grafici delle le funzioni  fV, fIV, f ''', f '', f ', f  

uno dopo l'altro in sequenza, coerentemente con le ipotesi fatte sulle derivate successive della f.

 

·       Noi abbiamo, per fissare le idee, supposto che la prima derivata a non annullarsi in x0 fosse la derivata quinta,

e fosse positiva; come esercizio molto istruttivo, passa a considerare qualche altro caso, immaginando ad es.

che la prima derivata a non annullarsi sia la derivata quarta e sia negativa…

con l’ aiuto di una figura costruita passo a passo, dimostra la tesi corrispondente.